Основы алгебры Примеры

$5 x^{2} - 5 y^{2} - 6$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} - 5 y^{2} = 6$

Этап 1.2

Разделим каждый член на $6$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{5 x^{2}}{6} - \frac{5 y^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Этап 1.3

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{6}{5}} - \frac{y^{2}}{\frac{6}{5}} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \frac{\sqrt{30}}{5}$

$b = \frac{\sqrt{30}}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{30}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{30}}^{2}$ в виде $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{30}$ в виде $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{30^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{30}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{30}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $30$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$\sqrt{\frac{5 (6)}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{6}{5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{30}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.6

Перепишем ${\sqrt{30}}^{2}$ в виде $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{30}$ в виде $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{1}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{5^{2}}}$

Этап 5.3.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{25}}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $30$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 (6)}{25}}$

Этап 5.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}}$

Этап 5.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}}$

Этап 5.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{6}{5}}$

Этап 5.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{6 + 6}{5}}$

Этап 5.3.9.2

Добавим $6$ и $6$ .

$\sqrt{\frac{12}{5}}$

Этап 5.3.10

Перепишем $\sqrt{\frac{12}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.11.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.12

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.13

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 5.3.13.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 5.3.13.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 5.3.13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 5.3.13.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.13.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.13.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.13.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.13.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 5.3.13.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Этап 5.3.14.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0), (- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}}{\frac{\sqrt{30}}{5}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{30}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.3

Перепишем ${\sqrt{30}}^{2}$ в виде $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{30}$ в виде $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{30^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{30}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{30}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.5

Сократим общий множитель $30$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$\sqrt{\frac{5 (6)}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{6}{5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.6

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{30}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.7

Перепишем ${\sqrt{30}}^{2}$ в виде $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{30}$ в виде $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{1}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.7.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.8

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{25}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.9

Сократим общий множитель $30$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 (6)}{25}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{6}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{6 + 6}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.10.2

Добавим $6$ и $6$ .

$\sqrt{\frac{12}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.11

Перепишем $\sqrt{\frac{12}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.12.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.12.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.13

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.14.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.15

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.15.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{3} \sqrt{5} \frac{1}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.16

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$2 \sqrt{5 \cdot 3} \frac{1}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.17

Умножим $5$ на $3$ .

$2 \sqrt{15} \frac{1}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.18

Объединим $\frac{1}{\sqrt{30}}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{30}} \sqrt{15}$

Этап 8.3.19

Объединим $\frac{2}{\sqrt{30}}$ и $\sqrt{15}$ .

$\frac{2 \sqrt{15}}{\sqrt{30}}$

Этап 8.3.20

Объединим $\sqrt{15}$ и $\sqrt{30}$ под одним знаком корня.

$2 \sqrt{\frac{15}{30}}$

Этап 8.3.21

Сократим общий множитель $15$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.21.1

Вынесем множитель $15$ из $15$ .

$2 \sqrt{\frac{15 (1)}{30}}$

Этап 8.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.21.2.1

Вынесем множитель $15$ из $30$ .

$2 \sqrt{\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2}}$

Этап 8.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2}}$

Этап 8.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3.22

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.23

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.24

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 8.3.25

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.25.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.25.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.25.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 8.3.25.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.25.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.3.25.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.25.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.25.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.25.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.25.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.25.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.25.6.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 8.3.25.6.5

Найдем экспоненту.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.26

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.26.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.26.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}}}{2 \sqrt{15}}}{5}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.2

Объединим.

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}} \cdot 1}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

Этап 9.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot 1}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{30}}{25}$ на $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25}}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

Этап 9.3.3.3

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25}}{10 \sqrt{15}}$

Этап 9.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{1}{10 \sqrt{15}}$

Этап 9.3.5

Умножим $\frac{1}{10 \sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} (\frac{1}{10 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Этап 9.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Умножим $\frac{1}{10 \sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 9.3.6.2

Перенесем $\sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 (\sqrt{15} \sqrt{15})}$

Этап 9.3.6.3

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}$

Этап 9.3.6.4

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}$

Этап 9.3.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 9.3.6.7

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{1}}$

Этап 9.3.6.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15}$

Этап 9.3.7

Умножим $10$ на $15$ .

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{150}$

Этап 9.3.8

Умножим $\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{150}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{30}}{25}$ на $\frac{\sqrt{15}}{150}$ .

$\frac{\sqrt{30} \sqrt{15}}{25 \cdot 150}$

Этап 9.3.8.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{30 \cdot 15}}{25 \cdot 150}$

Этап 9.3.8.3

Умножим $30$ на $15$ .

$\frac{\sqrt{450}}{25 \cdot 150}$

Этап 9.3.8.4

Умножим $25$ на $150$ .

$\frac{\sqrt{450}}{3750}$

Этап 9.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.1

Перепишем $450$ в виде $15^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.1.1

Вынесем множитель $225$ из $450$ .

$\frac{\sqrt{225 (2)}}{3750}$

Этап 9.3.9.1.2

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15^{2} \cdot 2}}{3750}$

Этап 9.3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{15 \sqrt{2}}{3750}$

Этап 9.3.10

Сократим общий множитель $15$ и $3750$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.1

Вынесем множитель $15$ из $15 \sqrt{2}$ .

$\frac{15 (\sqrt{2})}{3750}$

Этап 9.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.2.1

Вынесем множитель $15$ из $3750$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{15 \cdot 250}$

Этап 9.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{15 \sqrt{2}}{15 \cdot 250}$

Этап 9.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{250}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Этап 11

Упростим $1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1 \cdot x$ и $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Этап 11.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = x$

Этап 12

Упростим $- 1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- 1 \cdot x$ и $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Этап 12.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x, y = - x$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0), (- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

Фокусы: $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

Эксцентриситет: $\sqrt{2}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{2}}{250}$

Асимптоты: $y = x$ , $y = - x$

Этап 15