Основы алгебры Примеры

$x (7 - x) > 8$

Этап 1

Упростим $x (7 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 7 + x (- x) > 8$

Этап 1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$7 \cdot x + x (- x) > 8$

Этап 1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 \cdot x - x \cdot x > 8$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $x$ .

$7 x - (x \cdot x) > 8$

Этап 1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x - x^{2} > 8$

Этап 2

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$7 x - x^{2} - 8 > 0$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$7 x - x^{2} - 8 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 7$ и $c = - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.1.3

Вычтем $32$ из $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $32$ из $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.1.3

Вычтем $32$ из $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Этап 8.3

Упростим $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(0) (7 - (0)) > 8$

Этап 11.1.3

Левая часть $0$ не больше правой части $8$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) (7 - (4)) > 8$

Этап 11.2.3

Левая часть $12$ больше правой части $8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$(8) (7 - (8)) > 8$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 8$ не больше правой части $8$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Ложь

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Истина

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Ложь

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Ложь

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Истина

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 13