Основы алгебры Примеры

$c (x) = 0$ , $2 x^{2} + 10 x + 800$

Этап 1

Построим график $c (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем функцию в виде уравнения.

$y = 0$

Этап 1.2

Используем уравнение с угловым коэффициентом, чтобы найти угловой коэффициент и точку пересечения с осью y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 1.2.2

Найдем значения $m$ и $b$ , используя форму $y = m x + b$ .

$m = 0$

$b = 0$

Этап 1.2.3

Угловой коэффициент прямой ― это значение $m$ , а точка пересечения с осью y ― значение $b$ .

Угловой коэффициент: $0$

точка пересечения с осью y: $(0, 0)$

Угловой коэффициент: $0$

точка пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 1.3

Найдем две точки на прямой.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Этап 1.4

Построим график прямой, используя угловой коэффициент, координаты точки пересечения с осью ординат и координаты двух точек.

Угловой коэффициент: $0$

точка пересечения с осью y: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Угловой коэффициент: $0$

точка пересечения с осью y: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Этап 2

Построим график $2 x^{2} + 10 x + 800$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Составим полный квадрат для $2 x^{2} + 10 x + 800$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 10$

$c = 800$

Этап 2.1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.1.1.3.2

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (2)}$

Этап 2.1.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{2}$

Этап 2.1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 800 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.2.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$e = 800 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 800 - \frac{100}{8}$

Этап 2.1.1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $100$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$e = 800 - \frac{4 (25)}{8}$

Этап 2.1.1.1.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$e = 800 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.1.1.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 800 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.1.1.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 800 - \frac{25}{2}$

Этап 2.1.1.1.4.2.2

Чтобы записать $800$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = 800 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 2.1.1.1.4.2.3

Объединим $800$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{800 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 2.1.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{800 \cdot 2 - 25}{2}$

Этап 2.1.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.2.5.1

Умножим $800$ на $2$ .

$e = \frac{1600 - 25}{2}$

Этап 2.1.1.1.4.2.5.2

Вычтем $25$ из $1600$ .

$e = \frac{1575}{2}$

Этап 2.1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$ .

$2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$

Этап 2.1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$

Этап 2.1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{1575}{2}$

Этап 2.1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Этап 2.1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.5.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 2.1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Этап 2.1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 2.1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{6299}{8}$

Этап 2.1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = \frac{6299}{8}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = \frac{6299}{8}$

Этап 2.2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 2 {(- 3)}^{2} + 10 (- 3) + 800$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = 2 \cdot 9 + 10 (- 3) + 800$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f (- 3) = 18 + 10 (- 3) + 800$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $10$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 18 - 30 + 800$

Этап 2.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вычтем $30$ из $18$ .

$f (- 3) = - 12 + 800$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $- 12$ и $800$ .

$f (- 3) = 788$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $788$ .

$788$

Этап 2.2.3

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $788$ .

$y = 788$

Этап 2.2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} + 10 (- 4) + 800$

Этап 2.2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = 2 \cdot 16 + 10 (- 4) + 800$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f (- 4) = 32 + 10 (- 4) + 800$

Этап 2.2.5.1.3

Умножим $10$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 32 - 40 + 800$

Этап 2.2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вычтем $40$ из $32$ .

$f (- 4) = - 8 + 800$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $- 8$ и $800$ .

$f (- 4) = 792$

Этап 2.2.5.3

Окончательный ответ: $792$ .

$792$

Этап 2.2.6

Значение $y$ при $x = - 4$ равно $792$ .

$y = 792$

Этап 2.2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 800$

Этап 2.2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 10 (- 1) + 800$

Этап 2.2.8.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = 2 + 10 (- 1) + 800$

Этап 2.2.8.1.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 10 + 800$

Этап 2.2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Вычтем $10$ из $2$ .

$f (- 1) = - 8 + 800$

Этап 2.2.8.2.2

Добавим $- 8$ и $800$ .

$f (- 1) = 792$

Этап 2.2.8.3

Окончательный ответ: $792$ .

$792$

Этап 2.2.9

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $792$ .

$y = 792$

Этап 2.2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{2} + 10 (0) + 800$

Этап 2.2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 10 (0) + 800$

Этап 2.2.11.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 10 (0) + 800$

Этап 2.2.11.1.3

Умножим $10$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 800$

Этап 2.2.11.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 800$

Этап 2.2.11.2.2

Добавим $0$ и $800$ .

$f (0) = 800$

Этап 2.2.11.3

Окончательный ответ: $800$ .

$800$

Этап 2.2.12

Значение $y$ при $x = 0$ равно $800$ .

$y = 800$

Этап 2.2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Этап 2.3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = \frac{6299}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = \frac{6299}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Этап 3

Построим каждый график в одной системе координат.

$c (x) = 0$

$2 x^{2} + 10 x + 800$

Этап 4