Основы алгебры Примеры

$f (x) = \sqrt{e^{x} x}$

Этап 1

Найдем область определения $y = \sqrt{e^{x} x}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x e^{x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x e^{x} \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 1.2.3.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 1.2.3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 1.2.3.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 1.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x e^{x} \geq 0$ верно.

$x = 0$

Этап 1.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq 0$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $0$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt{(0) \cdot e^{0}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $0$ на $e^{0}$ .

$f (0) = \sqrt{0}$

Этап 2.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 0$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ . В данном случае получится точка $(1, \sqrt{e})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1) \cdot e^{1}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $e^{1}$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{e}$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{e}$ .

$y = \sqrt{e}$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ . В данном случае получится точка $(2, e \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{(2) \cdot e^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Изменим порядок $2$ и $e^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{e^{2} \cdot 2}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (2) = e \sqrt{2}$

Этап 4.2.2.3

Окончательный ответ: $e \sqrt{2}$ .

$y = e \sqrt{2}$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0, 0), (1, 1.65), (2, 3.84)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.65 \\ 2 & 3.84 \end{array}$

Этап 5