Основы алгебры Примеры

Этап 1
Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.1.2
Изменим порядок и .
Этап 1.2
Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна .
Этап 2
Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.
Этап 3
Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная представляет сдвиг по оси X от начала координат,  — сдвиг по оси Y от начала координат, .
Этап 4
Центр гиперболы имеет вид . Подставим значения и .
Этап 5
Найдем , расстояние от центра до фокуса.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.
Этап 5.2
Подставим значения и в формулу.
Этап 5.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 5.3.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 5.3.2
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 5.3.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.3.2.3
Объединим и .
Этап 5.3.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.3.2.5
Найдем экспоненту.
Этап 5.3.3
Возведем в степень .
Этап 5.3.4
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.4.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.3.5
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.5.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 5.3.5.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.3.5.3
Добавим и .
Этап 5.3.6
Перепишем в виде .
Этап 5.3.7
Умножим на .
Этап 5.3.8
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.8.1
Умножим на .
Этап 5.3.8.2
Возведем в степень .
Этап 5.3.8.3
Возведем в степень .
Этап 5.3.8.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.3.8.5
Добавим и .
Этап 5.3.8.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.8.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 5.3.8.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.3.8.6.3
Объединим и .
Этап 5.3.8.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.8.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.8.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.3.8.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 5.3.9
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.9.1
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 5.3.9.2
Умножим на .
Этап 6
Найдем вершины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Первую вершину гиперболы можно найти, добавив к .
Этап 6.2
Подставим известные значения , и в формулу и упростим.
Этап 6.3
Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя из .
Этап 6.4
Подставим известные значения , и в формулу и упростим.
Этап 6.5
Вершины гиперболы имеют вид . Гиперболы имеют две вершины.
Этап 7
Найдем фокусы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Первый фокус гиперболы можно найти, добавив к .
Этап 7.2
Подставим известные значения , и в формулу и упростим.
Этап 7.3
Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя из .
Этап 7.4
Подставим известные значения , и в формулу и упростим.
Этап 7.5
Фокусы гиперболы имеют вид . Гиперболы имеют два фокуса.
Этап 8
Найдем эксцентриситет.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.
Этап 8.2
Подставим значения и в формулу.
Этап 8.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.1
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.1.1
Разделим на .
Этап 8.3.1.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 8.3.1.3
Применим правило умножения к .
Этап 8.3.2
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 8.3.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 8.3.2.3
Объединим и .
Этап 8.3.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 8.3.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 8.3.2.5
Найдем экспоненту.
Этап 8.3.3
Возведем в степень .
Этап 8.3.4
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.3.4.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.3.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 8.3.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 8.3.5
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.5.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 8.3.5.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.3.5.3
Добавим и .
Этап 8.3.6
Перепишем в виде .
Этап 8.3.7
Умножим на .
Этап 8.3.8
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.8.1
Умножим на .
Этап 8.3.8.2
Возведем в степень .
Этап 8.3.8.3
Возведем в степень .
Этап 8.3.8.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 8.3.8.5
Добавим и .
Этап 8.3.8.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.8.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 8.3.8.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 8.3.8.6.3
Объединим и .
Этап 8.3.8.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.8.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 8.3.8.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 8.3.8.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 8.3.9
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.9.1
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 8.3.9.2
Умножим на .
Этап 9
Найдем фокальный параметр.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.
Этап 9.2
Подставим значения и в формулу.
Этап 9.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 9.3.2
Объединим.
Этап 9.3.3
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.3.1
Возведем в степень .
Этап 9.3.3.2
Умножим на .
Этап 9.3.3.3
Перенесем влево от .
Этап 9.3.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 9.3.5
Умножим на .
Этап 9.3.6
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.6.1
Умножим на .
Этап 9.3.6.2
Перенесем .
Этап 9.3.6.3
Возведем в степень .
Этап 9.3.6.4
Возведем в степень .
Этап 9.3.6.5
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 9.3.6.6
Добавим и .
Этап 9.3.6.7
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.6.7.1
С помощью запишем в виде .
Этап 9.3.6.7.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 9.3.6.7.3
Объединим и .
Этап 9.3.6.7.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.6.7.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.3.6.7.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 9.3.6.7.5
Найдем экспоненту.
Этап 9.3.7
Умножим на .
Этап 9.3.8
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.8.1
Умножим на .
Этап 9.3.8.2
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 9.3.8.3
Умножим на .
Этап 9.3.8.4
Умножим на .
Этап 9.3.9
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.9.1
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.9.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.3.9.1.2
Перепишем в виде .
Этап 9.3.9.2
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 9.3.10
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.3.10.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.10.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.3.10.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.3.10.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 10
Асимптоты имеют вид , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.
Этап 11
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Добавим и .
Этап 11.2
Объединим и .
Этап 12
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Добавим и .
Этап 12.2
Объединим и .
Этап 13
Эта гипербола имеет две асимптоты.
Этап 14
Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.
Центр:
Вершины:
Фокусы:
Эксцентриситет:
Фокальный параметр:
Асимптоты: ,
Этап 15