Основы алгебры Примеры

$| \frac{- 1}{2 + x} | \leq \frac{1}{6}$

Этап 1

Запишем $| \frac{- 1}{2 + x} | \leq \frac{1}{6}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{- 1}{2 + x} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$- 1 = 0$

$2 + x = 0$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.2.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем область определения $\frac{6 | \frac{1}{2 + x} | - 1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 + x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 + x = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 1.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$

Этап 1.3

В части, где $\frac{- 1}{2 + x}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$

Этап 1.4

Найдем область определения $\frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ и пересечение с $x < - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем область определения $\frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 1}{2 + x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 + x = 0$

Этап 1.4.1.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.4.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 1.4.2

Найдем пересечение $x < - 2$ и $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$x < - 2$

Этап 1.5

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{- 1}{2 + x} < 0$

Этап 1.6

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$- 1 = 0$

$2 + x = 0$

Этап 1.6.2

Поскольку $- 1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.6.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.6.4

Найдем область определения $\frac{6 | \frac{1}{2 + x} | - 1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 + x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 + x = 0$

Этап 1.6.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.6.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 1.6.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > - 2$

Этап 1.7

В части, где $\frac{- 1}{2 + x}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$

Этап 1.8

Найдем область определения $- \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ и пересечение с $x > - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем область определения $- \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 1}{2 + x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 + x = 0$

Этап 1.8.1.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.8.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 1.8.2

Найдем пересечение $x > - 2$ и $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$x > - 2$

Этап 1.9

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ - \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Этап 1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

${\begin{cases} - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ - \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Этап 1.11

Упростим $- \frac{- 1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

${\begin{cases} - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ - - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Этап 1.11.2

Умножим $- - \frac{1}{2 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ 1 \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Этап 1.11.2.2

Умножим $\frac{1}{2 + x}$ на $1$ .

${\begin{cases} - \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x < - 2 \\ \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6} & x > - 2 \end{cases}$

Этап 2

Решим $- \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ , когда $x < - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $- \frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $\frac{1}{6}$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{1}{2 + x} - \frac{1}{6} \leq 0$

Этап 2.1.2

Упростим $- \frac{1}{2 + x} - \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы записать $- \frac{1}{2 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{2 + x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \leq 0$

Этап 2.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$- \frac{1}{2 + x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2 + x}{2 + x} \leq 0$

Этап 2.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 + x) \cdot 6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2 + x}$ на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{(2 + x) \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2 + x}{2 + x} \leq 0$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$- \frac{6}{(2 + x) \cdot 6} - \frac{2 + x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.2.3.3

Изменим порядок множителей в $(2 + x) \cdot 6$ .

$- \frac{6}{6 (2 + x)} - \frac{2 + x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 6 - (2 + x)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 - (2 + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1.1.1

Изменим порядок $2$ и $x$ .

$\frac{- 6 - (x + 2)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.2.5.1.1.2

Изменим порядок $- 6$ и $- (x + 2)$ .

$\frac{- (x + 2) - 6}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.2.5.1.2

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 2) - 1 (6)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.2.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + 2) - 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 2 + 6)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.2.5.2

Добавим $2$ и $6$ .

$\frac{- (x + 8)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x + 8}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 2.1.3

$x + 8 = 0$

$2 + x = 0$

Этап 2.1.4

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 2.1.5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.1.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 8$

$x = - 2$

Этап 2.1.7

Объединим решения.

$x = - 8, - 2$

Этап 2.1.8

Найдем область определения $- \frac{x + 8}{6 (2 + x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 8}{6 (2 + x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$6 (2 + x) = 0$

Этап 2.1.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1

Разделим каждый член $6 (2 + x) = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1.1

Разделим каждый член $6 (2 + x) = 0$ на $6$ .

$\frac{6 (2 + x)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 2.1.8.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (2 + x)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 2.1.8.2.1.2.1.2

Разделим $2 + x$ на $1$ .

$2 + x = \frac{0}{6}$

Этап 2.1.8.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$2 + x = 0$

Этап 2.1.8.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.1.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 2.1.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$x > - 2$

Этап 2.1.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 2.1.10.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2 - 10} \leq \frac{1}{6}$

Этап 2.1.10.1.3

Левая часть $0.125$ меньше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.1.10.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 2.1.10.2.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2 - 5} \leq \frac{1}{6}$

Этап 2.1.10.2.3

Левая часть $0.\overline{3}$ больше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.1.10.3

Проверим значение на интервале $x > - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.1.10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2 + 0} \leq \frac{1}{6}$

Этап 2.1.10.3.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.1.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < - 2$ Ложь

$x > - 2$ Истина

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < - 2$ Ложь

$x > - 2$ Истина

Этап 2.1.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 8$ или $x > - 2$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x \leq - 8 or x > - 2$ и $x < - 2$ .

$x \leq - 8$

Этап 3

Решим $\frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ , когда $x > - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $\frac{1}{2 + x} \leq \frac{1}{6}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $\frac{1}{6}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{6} \leq 0$

Этап 3.1.2

Упростим $\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы записать $\frac{1}{2 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \leq 0$

Этап 3.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2 + x}{2 + x} \leq 0$

Этап 3.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 + x) \cdot 6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2 + x}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{(2 + x) \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2 + x}{2 + x} \leq 0$

Этап 3.1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{6}{(2 + x) \cdot 6} - \frac{2 + x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 3.1.2.3.3

Изменим порядок множителей в $(2 + x) \cdot 6$ .

$\frac{6}{6 (2 + x)} - \frac{2 + x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 - (2 + x)}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 3.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 - 1 \cdot 2 - x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{6 - 2 - x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 3.1.2.5.3

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{4 - x}{6 (2 + x)} \leq 0$

Этап 3.1.3

$4 - x = 0$

$2 + x = 0$

Этап 3.1.4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 3.1.5

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.1.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 3.1.6

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.1.7

$x = 4$

$x = - 2$

Этап 3.1.8

Объединим решения.

$x = 4, - 2$

Этап 3.1.9

Найдем область определения $\frac{4 - x}{6 (2 + x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 - x}{6 (2 + x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$6 (2 + x) = 0$

Этап 3.1.9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.2.1

Разделим каждый член $6 (2 + x) = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.2.1.1

Разделим каждый член $6 (2 + x) = 0$ на $6$ .

$\frac{6 (2 + x)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 3.1.9.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.2.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (2 + x)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 3.1.9.2.1.2.1.2

Разделим $2 + x$ на $1$ .

$2 + x = \frac{0}{6}$

Этап 3.1.9.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.2.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$2 + x = 0$

Этап 3.1.9.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.1.9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 3.1.10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 3.1.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.11.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 3.1.11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2 - 4} \leq \frac{1}{6}$

Этап 3.1.11.1.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.11.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.11.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.1.11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2 + 0} \leq \frac{1}{6}$

Этап 3.1.11.2.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.1.11.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 3.1.11.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2 + 6} \leq \frac{1}{6}$

Этап 3.1.11.3.3

Левая часть $0.125$ меньше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 3.1.12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x \geq 4$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < - 2 or x \geq 4$ и $x > - 2$ .

$x \geq 4$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$x \leq - 8$ или $x \geq 4$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 8 or x \geq 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 8] \cup [4, \infty)$

Этап 6