Основы алгебры Примеры

$y = 2 + | 4 x - 5 | - x$

Этап 1

Упростим $2 + | 4 x - 5 | - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $| 4 x - 5 |$ .

$y = 2 - x + | 4 x - 5 |$

Этап 1.2

Изменим порядок $2$ и $- x$ .

$y = - x + 2 + | 4 x - 5 |$

Этап 2

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ лежит в точке $(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $4 x - 5$ равным $0$ . В данном случае $4 x - 5 = 0$ .

$4 x - 5 = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение $4 x - 5 = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + 2 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$

Этап 2.4

Упростим $- (\frac{5}{4}) + 2 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2}{1} + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$

Этап 2.4.1.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$

Этап 2.4.1.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2 \cdot 4}{4} + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$

Этап 2.4.1.4

Запишем $| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |}{1}$

Этап 2.4.1.5

Умножим $\frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.4.1.6

Умножим $\frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 |}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{5}{4}) + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{| 4 (\frac{5}{4}) - 5 | \cdot 4}{4}$

Этап 2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 5 + 2 \cdot 4 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 | \cdot 4}{4}$

Этап 2.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{- 5 + 8 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 | \cdot 4}{4}$

Этап 2.4.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 5 + 8 + | 4 (\frac{5}{4}) - 5 | \cdot 4}{4}$

Этап 2.4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 5 + 8 + | 5 - 5 | \cdot 4}{4}$

Этап 2.4.3.3

Вычтем $5$ из $5$ .

$y = \frac{- 5 + 8 + | 0 | \cdot 4}{4}$

Этап 2.4.3.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = \frac{- 5 + 8 + 0 \cdot 4}{4}$

Этап 2.4.3.5

Умножим $0$ на $4$ .

$y = \frac{- 5 + 8 + 0}{4}$

Этап 2.4.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $- 5$ и $8$ .

$y = \frac{3 + 0}{4}$

Этап 2.4.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$y = \frac{3}{4}$

Этап 2.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$ .

$(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ . В данном случае получится точка $(- 1, 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - (- 1) + 2 + | 4 (- 1) - 5 |$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + | 4 (- 1) - 5 |$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + | - 4 - 5 |$

Этап 4.1.2.1.3

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + | - 9 |$

Этап 4.1.2.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 9$ и $0$ равно $9$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + 9$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = 3 + 9$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $3$ и $9$ .

$f (- 1) = 12$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$y = 12$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ . В данном случае получится точка $(0, 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - (0) + 2 + | 4 (0) - 5 |$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 2 + | 4 (0) - 5 |$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 2 + | 0 - 5 |$

Этап 4.2.2.1.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (0) = 0 + 2 + | - 5 |$

Этап 4.2.2.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 5$ и $0$ равно $5$ .

$f (0) = 0 + 2 + 5$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = 2 + 5$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $2$ и $5$ .

$f (0) = 7$

Этап 4.2.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$y = 7$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ . В данном случае получится точка $(1, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - (1) + 2 + | 4 (1) - 5 |$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 + | 4 (1) - 5 |$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 + | 4 - 5 |$

Этап 4.3.2.1.3

Вычтем $5$ из $4$ .

$f (1) = - 1 + 2 + | - 1 |$

Этап 4.3.2.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (1) = - 1 + 2 + 1$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (1) = 1 + 1$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = 2$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = - x + 2 + | 4 x - 5 |$ . В данном случае получится точка $(2, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - (2) + 2 + | 4 (2) - 5 |$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = - 2 + 2 + | 4 (2) - 5 |$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2) = - 2 + 2 + | 8 - 5 |$

Этап 4.4.2.1.3

Вычтем $5$ из $8$ .

$f (2) = - 2 + 2 + | 3 |$

Этап 4.4.2.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$f (2) = - 2 + 2 + 3$

Этап 4.4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (2) = 0 + 3$

Этап 4.4.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (2) = 3$

Этап 4.4.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 4.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(\frac{5}{4}, \frac{3}{4}), (- 1, 12), (0, 7), (1, 2), (2, 3)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 12 \\ 0 & 7 \\ 1 & 2 \\ \frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 5