Основы алгебры Примеры

$y = 5 x + 2 \div x - 3$

Этап 1

Найдем, где выражение $5 x + \frac{2}{x} - 3$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $5 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 x \cdot x}{x} + \frac{2}{x} - 3$

Этап 5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x \cdot x + 2}{x} - 3$

Этап 5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 2}{x} - 3$

Этап 5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 2}{x} - 3$

Этап 5.1.4

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 x^{2} + 2}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.1.5

Объединим $- 3$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 x^{2} + 2}{x} + \frac{- 3 x}{x}$

Этап 5.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x^{2} + 2 - 3 x}{x}$

Этап 5.1.7

Изменим порядок членов.

$\frac{5 x^{2} - 3 x + 2}{x}$

Этап 5.1.8

Упростим.

$\frac{5 x^{2} - 3 x + 2}{x}$

Этап 5.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 5.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$5 x$
	$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Этап 5.4

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$5 x^{2}$	+	$0$

Этап 5.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{2} + 0$ .

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$

Этап 5.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$

Этап 5.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	+	$2$

Этап 5.8

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$5 x$	-	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	+	$2$

Этап 5.9

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x$	-	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	+	$2$
					-	$3 x$	+	$0$

Этап 5.10

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x + 0$ .

				$5 x$	-	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	+	$2$
					+	$3 x$	-	$0$

Этап 5.11

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x$	-	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	+	$2$
					+	$3 x$	-	$0$
							+	$2$

Этап 5.12

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$5 x - 3 + \frac{2}{x}$

Этап 5.13

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 5 x - 3$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 5 x - 3$

Этап 7