Основы алгебры Примеры

$y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ .

$3 x - \frac{π}{2} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.2.2.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.2.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 1.3

Выражение внутри косеканса $3 x - \frac{π}{2}$ приравняем $2 π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = 2 π$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2 π + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x = \frac{4 π + π}{2}$

Этап 1.4.1.5.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$3 x = \frac{5 π}{2}$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 1.4.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Этап 1.4.2.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 1.5

Основной период $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ находится на промежутке $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ , где $\frac{π}{6}$ и $\frac{5 π}{6}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$

Этап 1.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ находятся в $\frac{π}{6}$ , $\frac{5 π}{6}$ и в каждой точке $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$

Этап 1.8

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \csc (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 5$

$b = 3$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $c s c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.4

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{6}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 8