Основы алгебры Примеры

$y = x (20 - x)$

Этап 1

Упростим $x (20 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot 20 + x (- x)$

Этап 1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем $20$ влево от $x$ .

$y = 20 \cdot x + x (- x)$

Этап 1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 20 \cdot x - x \cdot x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = 20 x - (x \cdot x)$

Этап 1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = 20 x - x^{2}$

Этап 1.3

Изменим порядок $20 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 20 x$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 20$

$c = 0$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $20$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{10}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 10$

Этап 2.1.1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$d = - 10$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{20^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{400}{- 4}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $400$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 100$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим $0$ и $100$ .

$e = 100$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 10)}^{2} + 100$ .

$- {(x - 10)}^{2} + 100$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x - 10)}^{2} + 100$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 10$

$k = 100$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(10, 100)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(10, \frac{399}{4})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 10$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{401}{4}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(10, 100)$

Фокус: $(10, \frac{399}{4})$

Ось симметрии: $x = 10$

Директриса: $y = \frac{401}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(10, 100)$

Фокус: $(10, \frac{399}{4})$

Ось симметрии: $x = 10$

Директриса: $y = \frac{401}{4}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f (9) = - {(9)}^{2} + 20 (9)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (9) = - 1 \cdot 81 + 20 (9)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $81$ .

$f (9) = - 81 + 20 (9)$

Этап 3.2.1.3

Умножим $20$ на $9$ .

$f (9) = - 81 + 180$

Этап 3.2.2

Добавим $- 81$ и $180$ .

$f (9) = 99$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $99$ .

$99$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = 9$ равно $99$ .

$y = 99$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = - {(8)}^{2} + 20 (8)$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (8) = - 1 \cdot 64 + 20 (8)$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$f (8) = - 64 + 20 (8)$

Этап 3.5.1.3

Умножим $20$ на $8$ .

$f (8) = - 64 + 160$

Этап 3.5.2

Добавим $- 64$ и $160$ .

$f (8) = 96$

Этап 3.5.3

Окончательный ответ: $96$ .

$96$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = 8$ равно $96$ .

$y = 96$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $11$ .

$f (11) = - {(11)}^{2} + 20 (11)$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f (11) = - 1 \cdot 121 + 20 (11)$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 1$ на $121$ .

$f (11) = - 121 + 20 (11)$

Этап 3.8.1.3

Умножим $20$ на $11$ .

$f (11) = - 121 + 220$

Этап 3.8.2

Добавим $- 121$ и $220$ .

$f (11) = 99$

Этап 3.8.3

Окончательный ответ: $99$ .

$99$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 11$ равно $99$ .

$y = 99$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $12$ .

$f (12) = - {(12)}^{2} + 20 (12)$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$f (12) = - 1 \cdot 144 + 20 (12)$

Этап 3.11.1.2

Умножим $- 1$ на $144$ .

$f (12) = - 144 + 20 (12)$

Этап 3.11.1.3

Умножим $20$ на $12$ .

$f (12) = - 144 + 240$

Этап 3.11.2

Добавим $- 144$ и $240$ .

$f (12) = 96$

Этап 3.11.3

Окончательный ответ: $96$ .

$96$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 12$ равно $96$ .

$y = 96$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 8 & 96 \\ 9 & 99 \\ 10 & 100 \\ 11 & 99 \\ 12 & 96 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(10, 100)$

Фокус: $(10, \frac{399}{4})$

Ось симметрии: $x = 10$

Директриса: $y = \frac{401}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 8 & 96 \\ 9 & 99 \\ 10 & 100 \\ 11 & 99 \\ 12 & 96 \end{array}$

Этап 5