Основы алгебры Примеры

$y = - 2 \sec (\frac{π}{2} x + π) + 2$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ .

$\frac{π x}{2} + π = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π$

Этап 1.2.1.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.1.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - 2 π}{2}$

Этап 1.2.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $- π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- 3 π}{2}$

Этап 1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{π x}{2} = - \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$π x = - 3 π$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $π x = - 3 π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $π x = - 3 π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Этап 1.2.3.3.1.2

Разделим $- 3$ на $1$ .

$x = - 3$

Этап 1.3

Выражение внутри секанса $\frac{π x}{2} + π$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} + π = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.4.1.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Этап 1.4.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$π x = π$

Этап 1.4.3

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 1.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 1.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Этап 1.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{π}$

Этап 1.4.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Этап 1.5

Основной период $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ находится на промежутке $(- 3, 1)$ , где $- 3$ и $1$ являются вертикальными асимптотами.

$(- 3, 1)$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 1.6.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 1.6.3.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 1.6.3.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 1.6.4

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ находятся в $- 3$ , $1$ и в каждой точке $x = - 3 + 2 n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = - 3 + 2 n$

Этап 1.8

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - 3 + 2 n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - 3 + 2 n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \sec (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 2$

$b = \frac{π}{2}$

$c = - π$

$d = 2$

Этап 3

Поскольку график функции $s e c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $- 2 \sec (\frac{π x}{2} + π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Этап 4.1.3

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 4.1.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 4.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 4.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 4.2

Найдем период $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Этап 4.2.3

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 4.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$4$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- π}{\frac{π}{2}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- π \frac{2}{π}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

Сдвиг фазы: $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $- 1 \cdot 2$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

Сдвиг фазы: $- 2$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $4$

Сдвиг фазы: $- 2$ ( $2$ влево)

Смещение по вертикали: $2$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3 + 2 n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $4$

Сдвиг фазы: $- 2$ ( $2$ влево)

Смещение по вертикали: $2$

Этап 8