Основы алгебры Примеры

$y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{11}{2}$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + \frac{11}{2}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{2} - 3 x + \frac{11}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 3$

$c = \frac{11}{2}$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 3}{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 2.1.1.3.2.3

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{11}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$e = \frac{11}{2} - \frac{9}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{11}{2} - \frac{9}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = \frac{11}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{11 - 9}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Вычтем $9$ из $11$ .

$e = \frac{2}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $2$ .

$e = 1$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 1$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 1$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 1$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, 1)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.5.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, \frac{3}{2})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 3$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{1}{2}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(3, 1)$

Фокус: $(3, \frac{3}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{1}{2}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(3, 1)$

Фокус: $(3, \frac{3}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{1}{2}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - 3 \cdot 1 + \frac{11}{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + \frac{{(1)}^{2} + 11}{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + \frac{1 + 11}{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Добавим $1$ и $11$ .

$f (1) = - 3 \cdot 1 + \frac{12}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = - 3 + \frac{12}{2}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $12$ на $2$ .

$f (1) = - 3 + 6$

Этап 3.2.3

Добавим $- 3$ и $6$ .

$f (1) = 3$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - 3 \cdot 2 + \frac{11}{2}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = - 3 \cdot 2 + \frac{{(2)}^{2} + 11}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 3 \cdot 2 + \frac{4 + 11}{2}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $4$ и $11$ .

$f (2) = - 3 \cdot 2 + \frac{15}{2}$

Этап 3.5.2.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (2) = - 6 + \frac{15}{2}$

Этап 3.5.3

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = - 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

Этап 3.5.4

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

Этап 3.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{- 6 \cdot 2 + 15}{2}$

Этап 3.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f (2) = \frac{- 12 + 15}{2}$

Этап 3.5.6.2

Добавим $- 12$ и $15$ .

$f (2) = \frac{3}{2}$

Этап 3.5.7

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{2} - 3 \cdot 5 + \frac{11}{2}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = - 3 \cdot 5 + \frac{{(5)}^{2} + 11}{2}$

Этап 3.8.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = - 3 \cdot 5 + \frac{25 + 11}{2}$

Этап 3.8.1.2.2

Добавим $25$ и $11$ .

$f (5) = - 3 \cdot 5 + \frac{36}{2}$

Этап 3.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Умножим $- 3$ на $5$ .

$f (5) = - 15 + \frac{36}{2}$

Этап 3.8.2.2

Разделим $36$ на $2$ .

$f (5) = - 15 + 18$

Этап 3.8.3

Добавим $- 15$ и $18$ .

$f (5) = 3$

Этап 3.8.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - 3 \cdot 4 + \frac{11}{2}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = - 3 \cdot 4 + \frac{{(4)}^{2} + 11}{2}$

Этап 3.11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = - 3 \cdot 4 + \frac{16 + 11}{2}$

Этап 3.11.2.2

Добавим $16$ и $11$ .

$f (4) = - 3 \cdot 4 + \frac{27}{2}$

Этап 3.11.2.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (4) = - 12 + \frac{27}{2}$

Этап 3.11.3

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = - 12 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Этап 3.11.4

Объединим $- 12$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{- 12 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Этап 3.11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = \frac{- 12 \cdot 2 + 27}{2}$

Этап 3.11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f (4) = \frac{- 24 + 27}{2}$

Этап 3.11.6.2

Добавим $- 24$ и $27$ .

$f (4) = \frac{3}{2}$

Этап 3.11.7

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 4$ равно $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{3}{2} \\ 3 & 1 \\ 4 & \frac{3}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(3, 1)$

Фокус: $(3, \frac{3}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{3}{2} \\ 3 & 1 \\ 4 & \frac{3}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Этап 5