Основы алгебры Примеры

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1

Упростим $\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 6^{2}} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r$ и $b = 6$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - r} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- r$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - (r)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 6) - (r)$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6 + r)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.3

Чтобы записать $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.4

Чтобы записать $- \frac{r}{- 1 (r - 6)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{r}{- 1 (r - 6)}$ на $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.5.4

Изменим порядок множителей в $- 1 (r - 6) (r + 6)$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{30 \cdot - 1 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.2

Умножим $30$ на $- 1$ .

$\frac{- 30 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.3

Умножим $- 1$ на $- 17$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 30 + 17 r - r \cdot r - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.5

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Перенесем $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - (r \cdot r) - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.5.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - 6 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.7

Вычтем $6 r$ из $17 r$ .

$\frac{- 30 - r^{2} + 11 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.8

Изменим порядок членов.

$\frac{- r^{2} + 11 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 30 = 30$ , а сумма — $b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.9.1.1

Вынесем множитель $11$ из $11 r$ .

$\frac{- r^{2} + 11 (r) - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.9.1.2

Запишем $11$ как $5$ плюс $6$

$\frac{- r^{2} + (5 + 6) r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- r^{2} + 5 r + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- r^{2} + 5 r) + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{r (- r + 5) - 6 (- r + 5)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.7.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- r + 5$ .

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $r - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- r + 5}{- (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- r + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- r$ .

$- \frac{- (r) + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.4

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (r) - 1 (- 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1

Перепишем $- (r - 5)$ в виде $- 1 (r - 5)$ .

$- \frac{- 1 (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.6.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 1.8.6.4

Умножим $\frac{r - 5}{r + 6}$ на $1$ .

$\frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Этап 2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$r \approx 16$

Этап 3