Основы алгебры Примеры

$\frac{2 x + 4}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1

Упростим $\frac{2 x + 4}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} - \frac{3 (x) - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} - \frac{3 x + 3 \cdot - 2}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} - \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} - \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.3

Чтобы записать $- \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} - \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2) (2 x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ на $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (x + 2) (2 x + 3)}{(x - 2) (2 x + 3)} - \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{3 (x - 2)}{2 x + 3}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2) (2 x + 3)}{(x - 2) (2 x + 3)} - \frac{3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 (x + 2) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (x - 2)} - \frac{3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x + 2) (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.3

Развернем $(2 x + 4) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x + 3) + 4 (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.4.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.4.1.5

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 8 x + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.4.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 8 x + 12 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.4.2

Добавим $6 x$ и $8 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 + (- 3 x - 3 \cdot - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.6

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 + (- 3 x + 6) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.7

Развернем $(- 3 x + 6) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x (x - 2) + 6 (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 + 6 (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.8.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.8.1.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x^{2} + 6 x + 6 x + 6 \cdot - 2}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.8.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x^{2} + 6 x + 6 x - 12}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.8.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x^{2} + 12 x - 12}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.9

Вычтем $3 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x + 12 + 12 x - 12}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.10

Добавим $14 x$ и $12 x$ .

$\frac{x^{2} + 26 x + 12 - 12}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.11

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{x^{2} + 26 x + 0}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.12

Добавим $x^{2} + 26 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 26 x}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.13

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 26 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.13.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 26 x}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.13.2

Вынесем множитель $x$ из $26 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 26}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 1.6.13.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 26$ .

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - (x) - 6}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} + (3 - 4) x - 6}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{(2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{(2 x + 3) (x - 2)}$

Этап 3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 3$

Этап 4