Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{2} + 24}{3 x^{2} + 7 x - 6} + \frac{3}{x + 3} = \frac{- 2}{3 x - 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 24}{3 x^{2} + 7 (x) - 6} + \frac{3}{x + 3} = \frac{- 2}{3 x - 2}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $7$ как $- 2$ плюс $9$

$\frac{x^{2} + 24}{3 x^{2} + (- 2 + 9) x - 6} + \frac{3}{x + 3} = \frac{- 2}{3 x - 2}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 24}{3 x^{2} - 2 x + 9 x - 6} + \frac{3}{x + 3} = \frac{- 2}{3 x - 2}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x^{2} + 24}{(3 x^{2} - 2 x) + 9 x - 6} + \frac{3}{x + 3} = \frac{- 2}{3 x - 2}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x^{2} + 24}{x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2)} + \frac{3}{x + 3} = \frac{- 2}{3 x - 2}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$\frac{x^{2} + 24}{(3 x - 2) (x + 3)} + \frac{3}{x + 3} = \frac{- 2}{3 x - 2}$

Этап 1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2} + 24}{(3 x - 2) (x + 3)} + \frac{3}{x + 3} = - \frac{2}{3 x - 2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(3 x - 2) (x + 3), x + 3, 3 x - 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $3 x - 2$ является само значение $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) = 3 x - 2$

$(3 x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $3 x - 2$ является само значение $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) = 3 x - 2$

$(3 x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $3 x - 2, x + 3, x + 3, 3 x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(3 x - 2) (x + 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x^{2} + 24}{(3 x - 2) (x + 3)} + \frac{3}{x + 3} = - \frac{2}{3 x - 2}$ умножим на $(3 x - 2) (x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x^{2} + 24}{(3 x - 2) (x + 3)} + \frac{3}{x + 3} = - \frac{2}{3 x - 2}$ на $(3 x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{x^{2} + 24}{(3 x - 2) (x + 3)} ((3 x - 2) (x + 3)) + \frac{3}{x + 3} ((3 x - 2) (x + 3)) = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(3 x - 2) (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} + 24}{(3 x - 2) (x + 3)} ((3 x - 2) (x + 3)) + \frac{3}{x + 3} ((3 x - 2) (x + 3)) = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 24 + \frac{3}{x + 3} ((3 x - 2) (x + 3)) = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $(3 x - 2) (x + 3)$ .

$x^{2} + 24 + \frac{3}{x + 3} ((x + 3) (3 x - 2)) = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 24 + \frac{3}{x + 3} ((x + 3) (3 x - 2)) = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 24 + 3 (3 x - 2) = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 24 + 3 (3 x) + 3 \cdot - 2 = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{2} + 24 + 9 x + 3 \cdot - 2 = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$x^{2} + 24 + 9 x - 6 = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.2

Вычтем $6$ из $24$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = - \frac{2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3 x - 2}$ в числитель.

$x^{2} + 9 x + 18 = \frac{- 2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 9 x + 18 = \frac{- 2}{3 x - 2} ((3 x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 9 x + 18 = - 2 (x + 3)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 9 x + 18 = - 2 x - 2 \cdot 3$

Этап 3.3.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = - 2 x - 6$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 9 x + 18 + 2 x = - 6$

Этап 4.1.2

Добавим $9 x$ и $2 x$ .

$x^{2} + 11 x + 18 = - 6$

Этап 4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 11 x + 18 + 6 = 0$

Этап 4.3

Добавим $18$ и $6$ .

$x^{2} + 11 x + 24 = 0$

Этап 4.4

Разложим $x^{2} + 11 x + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $11$ .

$3, 8$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) (x + 8) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.7

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x + 8) = 0$ верно.

$x = - 3, - 8$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x^{2} + 24}{3 x^{2} + 7 x - 6} + \frac{3}{x + 3} = \frac{- 2}{3 x - 2}$ истинным.

$x = - 8$