Основы алгебры Примеры

$f (x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 1

Перепишем функцию в виде уравнения.

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$y = \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{x - 1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$y = \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{x - 1}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 1)$ .

$y = \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x + 1 + (x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.2.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$y = \frac{- x + 1 + x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{- x + x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5.5

Изменим порядок членов.

$y = \frac{x^{2} - x + 2}{(x + 1) (x - 1)}$