Основы алгебры Примеры

$M (x) = 32 x^{3} - 24 x^{2} + 20 x - 5$

Этап 1

Проверим старший коэффициент функции. Это число — коэффициент выражения с наибольшей степенью.

Наибольшая степень: $3$

Старший коэффициент: $32$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$M (x) = \frac{32 x^{3}}{32} + \frac{- 24 x^{2}}{32} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$M (x) = x^{3} + \frac{- 24 x^{2}}{32} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $- 24$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $- 24 x^{2}$ .

$M (x) = x^{3} + \frac{8 (- 3 x^{2})}{32} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$M (x) = x^{3} + \frac{8 (- 3 x^{2})}{8 (4)} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$M (x) = x^{3} + \frac{8 (- 3 x^{2})}{8 \cdot 4} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$M (x) = x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{4} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{20 x}{32} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $20$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20 x$ .

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{4 (5 x)}{32} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{4 (5 x)}{4 (8)} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{4 (5 x)}{4 \cdot 8} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{5 x}{8} + \frac{- 5}{32}$

Этап 2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$M (x) = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{5 x}{8} - \frac{5}{32}$

Этап 3

Составим список коэффициентов функции, исключив старший коэффициент $1$ .

$- \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, - \frac{5}{32}$

Этап 4

Получатся два варианта границы, $b_{1}$ и $b_{2}$ , меньший из которых является ответом. Для вычисления первого варианта границы найдем абсолютное значение наибольшего коэффициента из списка коэффициентов. Затем добавим $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{1} = | - \frac{5}{32} |, | \frac{5}{8} |, | - \frac{3}{4} |$

Этап 4.2

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{1} = | - \frac{3}{4} |$

Этап 4.3

$- \frac{3}{4}$ приблизительно равно $- 0.75$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{3}{4}$ и вычтем абсолютное значение.

$b_{1} = \frac{3}{4} + 1$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$b_{1} = \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$b_{1} = \frac{3 + 4}{4}$

Этап 4.6

Добавим $3$ и $4$ .

$b_{1} = \frac{7}{4}$

Этап 5

Чтобы рассчитать второй вариант границы, просуммируем абсолютные значения коэффициентов из списка коэффициентов. Если эта сумма больше $1$ , используем это число. В противном случае используем $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$b_{2} = \frac{3}{4} + | \frac{5}{8} | + | - \frac{5}{32} |$

Этап 5.1.2

$\frac{5}{8}$ приблизительно равно $0.625$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$b_{2} = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + | - \frac{5}{32} |$

Этап 5.1.3

$- \frac{5}{32}$ приблизительно равно $- 0.15625$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{5}{32}$ и вычтем абсолютное значение.

$b_{2} = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{5}{32}$

Этап 5.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{8}{8}$ .

$b_{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{8} + \frac{5}{8} + \frac{5}{32}$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{8}{8}$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{5}{8} + \frac{5}{32}$

Этап 5.2.3

Умножим $\frac{5}{8}$ на $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{32}$

Этап 5.2.4

Умножим $\frac{5}{8}$ на $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{5}{32}$

Этап 5.2.5

Умножим $4$ на $8$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{32} + \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{5}{32}$

Этап 5.2.6

Изменим порядок множителей в $8 \cdot 4$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{32} + \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{5}{32}$

Этап 5.2.7

Умножим $4$ на $8$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8}{32} + \frac{5 \cdot 4}{32} + \frac{5}{32}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$b_{2} = \frac{3 \cdot 8 + 5 \cdot 4 + 5}{32}$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $3$ на $8$ .

$b_{2} = \frac{24 + 5 \cdot 4 + 5}{32}$

Этап 5.4.2

Умножим $5$ на $4$ .

$b_{2} = \frac{24 + 20 + 5}{32}$

Этап 5.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $24$ и $20$ .

$b_{2} = \frac{44 + 5}{32}$

Этап 5.5.2

Добавим $44$ и $5$ .

$b_{2} = \frac{49}{32}$

Этап 5.6

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{2} = 1, \frac{49}{32}$

Этап 5.7

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{2} = \frac{49}{32}$

Этап 6

Возьмем в качестве границы меньшее из чисел $b_{1} = \frac{7}{4}$ и $b_{2} = \frac{49}{32}$ .

Меньшая граница: $\frac{49}{32}$

Этап 7

Каждый вещественный корень $M (x) = 32 x^{3} - 24 x^{2} + 20 x - 5$ лежит между $- \frac{49}{32}$ и $\frac{49}{32}$ .

$- \frac{49}{32}$ и $\frac{49}{32}$