Основы алгебры Примеры

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Этап 1

Запишем $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ в виде уравнения.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Этап 2

Упростим $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем дробь $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ на две дроби.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $23 x^{2}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 104 x$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{2}) + x (23 x)$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Этап 2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} - \frac{308}{x - 11}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104) - 308}{x - 11}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Этап 4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Этап 4.2.3

Перенесем $- 104$ влево от $x$ .

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2} x) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{- (x^{2} x^{1}) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Этап 4.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{- x^{2 + 1} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Этап 4.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 (x \cdot x) - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Этап 4.4

Перепишем $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разложим $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

$q = \pm 1$

Этап 4.4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

Этап 4.4.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$- {(- 2)}^{3} + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Этап 4.4.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- - 8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Этап 4.4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Этап 4.4.1.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$8 + 23 \cdot 4 - 104 \cdot - 2 - 308$

Этап 4.4.1.3.5

Умножим $23$ на $4$ .

$8 + 92 - 104 \cdot - 2 - 308$

Этап 4.4.1.3.6

Добавим $8$ и $92$ .

$100 - 104 \cdot - 2 - 308$

Этап 4.4.1.3.7

Умножим $- 104$ на $- 2$ .

$100 + 208 - 308$

Этап 4.4.1.3.8

Добавим $100$ и $208$ .

$308 - 308$

Этап 4.4.1.3.9

Вычтем $308$ из $308$ .

$0$

Этап 4.4.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x + 2}$

Этап 4.4.1.5

Разделим $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$104 x$

$308$

Этап 4.4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$

Этап 4.4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4.4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4.4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$

Этап 4.4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Этап 4.4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $25 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Этап 4.4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					+	$25 x^{2}$	+	$50 x$

Этап 4.4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $25 x^{2} + 50 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$

Этап 4.4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$

Этап 4.4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Этап 4.4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 154 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Этап 4.4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							-	$154 x$	-	$308$

Этап 4.4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 154 x - 308$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$

Этап 4.4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$
										$0$

Этап 4.4.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 25 x - 154$

Этап 4.4.1.6

Запишем $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ в виде набора множителей.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 x - 154)}{x - 11}$

Этап 4.4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 154 = 154$ , а сумма — $b = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Вынесем множитель $25$ из $25 x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 (x) - 154)}{x - 11}$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем $25$ как $11$ плюс $14$

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + (11 + 14) x - 154)}{x - 11}$

Этап 4.4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 11 x + 14 x - 154)}{x - 11}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{(x + 2) ((- x^{2} + 11 x) + 14 x - 154)}{x - 11}$

Этап 4.4.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{(x + 2) (x (- x + 11) - 14 (- x + 11))}{x - 11}$

Этап 4.4.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 11$ .

$y = \frac{(x + 2) ((- x + 11) (x - 14))}{x - 11}$

$y = \frac{(x + 2) (- x + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Этап 5

Сократим общий множитель $- x + 11$ и $x - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Этап 5.2

Перепишем $11$ в виде $- 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) - 1 (- 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Этап 5.4

Перепишем $- (x - 11)$ в виде $- 1 (x - 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель.

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Этап 5.6

Разделим $((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$ на $1$ .

$y = ((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (x \cdot - 1 + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Этап 7

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y = (- 1 \cdot x + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Этап 8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = (- 1 \cdot x - 2) (x - 14)$

Этап 9

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = (- x - 2) (x - 14)$

Этап 10

Развернем $(- x - 2) (x - 14)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - x (x - 14) - 2 (x - 14)$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 (x - 14)$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Этап 11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Перенесем $x$ .

$y = - (x \cdot x) - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Этап 11.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = - x^{2} - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Этап 11.1.2

Умножим $- 14$ на $- 1$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x - 2 \cdot - 14$

Этап 11.1.3

Умножим $- 2$ на $- 14$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x + 28$

Этап 11.2

Вычтем $2 x$ из $14 x$ .

$y = - x^{2} + 12 x + 28$

Этап 12

Если искать решение относительно $y$ , то $y$ не зависит напрямую от $x^{2}$ .

$y$ не изменяется прямо пропорционально $x^{2}$