Основы алгебры Примеры

$36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y + 36 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = - 9$ , $b = - 108$ и $c = 36 x^{2} - 72 x + 36$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{108 \pm \sqrt{{(- 108)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36))}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 108$ в степень $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $36$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $- 72$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.4.3

Умножим $36$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.5

Добавим $11664$ и $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.6.2

Вынесем множитель $1296$ из $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.6.3

Вынесем множитель $1296$ из $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.6.4

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.6.5

Вынесем множитель $1296$ из $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.7

Перепишем $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ в виде ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем $1296$ в виде $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.1.9

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 3.5

Перепишем $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ в виде $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 108$ в степень $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $36$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $- 72$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.4.3

Умножим $36$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.5

Добавим $11664$ и $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $1296$ из $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.6.3

Вынесем множитель $1296$ из $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.6.4

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.6.5

Вынесем множитель $1296$ из $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.7

Перепишем $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ в виде ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем $1296$ в виде $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.1.9

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 4.5

Перепишем $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ в виде $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 4.6

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - (6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 \cdot 6 - (2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 4.8

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y = - 6 - (2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 4.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 108$ в степень $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $36$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 72$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.4.3

Умножим $36$ на $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.5

Добавим $11664$ и $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.6

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.6.2

Вынесем множитель $1296$ из $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.6.3

Вынесем множитель $1296$ из $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.6.4

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.6.5

Вынесем множитель $1296$ из $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.7

Перепишем $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ в виде ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Перепишем $1296$ в виде $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.1.9

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 5.5

Перепишем $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ в виде $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 5.6

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - (6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 \cdot 6 - (- 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 5.8

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y = - 6 - (- 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Этап 5.9

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

$y = - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Этап 7

Данное уравнение $y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}, - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$ нельзя записать как $y = k x^{2}$ , поэтому $y$ не зависит напрямую от $x^{2}$ .

$y$ не изменяется прямо пропорционально $x$