Основы алгебры Примеры

$3 x^{2} + y^{2} + 18 x - 2 y + 4 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 3 x^{2} + 18 x + 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $3$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $18$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Вычтем $16$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2

Вынесем множитель $12$ из $- 72 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.3

Вынесем множитель $12$ из $- 12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Перепишем $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $3$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $18$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вычтем $16$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $12$ из $- 72 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.3

Вынесем множитель $12$ из $- 12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Перепишем $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $3$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $18$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Вычтем $16$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2

Вынесем множитель $12$ из $- 72 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.3

Вынесем множитель $12$ из $- 12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Перепишем $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

$y = 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Этап 7

Данное уравнение $y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}, 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$ нельзя записать как $y = k x^{2}$ , поэтому $y$ не зависит напрямую от $x^{2}$ .

$y$ не изменяется прямо пропорционально $x$