Основы алгебры Примеры

$\frac{x}{x^{2} - 16} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Этап 2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 4, - 4$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 0, 4, - 4$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{x}{x^{2} - 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x^{2} - 16}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 16 = 0$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16$

Этап 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 8.2.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 8.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 8.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 8.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 8.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} - 16} \leq 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 0.3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 16} \leq 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $0.1\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 16} \leq 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 0.1\overline{6}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{{(6)}^{2} - 16} \leq 0$

Этап 10.4.3

Левая часть $0.3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 4$ или $0 \leq x < 4$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 4 or 0 \leq x < 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup [0, 4)$

Этап 13