Основы алгебры Примеры

$f (x) = - 2 (x - 7) {(x + 9)}^{2}$

Этап 1

Проверим старший коэффициент функции. Это число — коэффициент выражения с наибольшей степенью.

Наибольшая степень: $3$

Старший коэффициент: $- 2$

Этап 2

The leading coefficient needs to be $1$ . If it is not, divide the expression by it to make it $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{- 2 (x - 7) {(x + 9)}^{2}}{- 2}$

Этап 2.1.2

Разделим $(x - 7) {(x + 9)}^{2}$ на $1$ .

$f (x) = (x - 7) {(x + 9)}^{2}$

Этап 2.2

Перепишем ${(x + 9)}^{2}$ в виде $(x + 9) (x + 9)$ .

$f (x) = (x - 7) ((x + 9) (x + 9))$

Этап 2.3

Развернем $(x + 9) (x + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x - 7) (x (x + 9) + 9 (x + 9))$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x - 7) (x \cdot x + x \cdot 9 + 9 (x + 9))$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x - 7) (x \cdot x + x \cdot 9 + 9 x + 9 \cdot 9)$

Этап 2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + x \cdot 9 + 9 x + 9 \cdot 9)$

Этап 2.4.1.2

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + 9 \cdot x + 9 x + 9 \cdot 9)$

Этап 2.4.1.3

Умножим $9$ на $9$ .

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + 9 x + 9 x + 81)$

Этап 2.4.2

Добавим $9 x$ и $9 x$ .

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + 18 x + 81)$

Этап 2.5

Развернем $(x - 7) (x^{2} + 18 x + 81)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x) = x \cdot x^{2} + x (18 x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = x \cdot x^{2} + x (18 x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Этап 2.6.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = x^{1 + 2} + x (18 x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Этап 2.6.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x) = x^{3} + x (18 x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Этап 2.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = x^{3} + 18 x \cdot x + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Этап 2.6.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = x^{3} + 18 (x \cdot x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Этап 2.6.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Этап 2.6.4

Перенесем $81$ влево от $x$ .

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 81 \cdot x - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Этап 2.6.5

Умножим $18$ на $- 7$ .

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 81 x - 7 x^{2} - 126 x - 7 \cdot 81$

Этап 2.6.6

Умножим $- 7$ на $81$ .

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 81 x - 7 x^{2} - 126 x - 567$

Этап 2.7

Вычтем $7 x^{2}$ из $18 x^{2}$ .

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} + 81 x - 126 x - 567$

Этап 2.8

Вычтем $126 x$ из $81 x$ .

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} - 45 x - 567$

Этап 3

Составим список коэффициентов функции, исключив старший коэффициент $1$ .

$11, - 45, - 567$

Этап 4

Получатся два варианта границы, $b_{1}$ и $b_{2}$ , меньший из которых является ответом. Для вычисления первого варианта границы найдем абсолютное значение наибольшего коэффициента из списка коэффициентов. Затем добавим $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{1} = | 11 |, | - 45 |, | - 567 |$

Этап 4.2

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{1} = | - 567 |$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 567$ и $0$ равно $567$ .

$b_{1} = 567 + 1$

Этап 4.4

Добавим $567$ и $1$ .

$b_{1} = 568$

Этап 5

Чтобы рассчитать второй вариант границы, просуммируем абсолютные значения коэффициентов из списка коэффициентов. Если эта сумма больше $1$ , используем это число. В противном случае используем $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $11$ равно $11$ .

$b_{2} = 11 + | - 45 | + | - 567 |$

Этап 5.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 45$ и $0$ равно $45$ .

$b_{2} = 11 + 45 + | - 567 |$

Этап 5.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 567$ и $0$ равно $567$ .

$b_{2} = 11 + 45 + 567$

Этап 5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $11$ и $45$ .

$b_{2} = 56 + 567$

Этап 5.2.2

Добавим $56$ и $567$ .

$b_{2} = 623$

Этап 5.3

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{2} = 1, 623$

Этап 5.4

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{2} = 623$

Этап 6

Возьмем в качестве границы меньшее из чисел $b_{1} = 568$ и $b_{2} = 623$ .

Меньшая граница: $568$

Этап 7

Каждый вещественный корень $f (x) = - 2 (x - 7) {(x + 9)}^{2}$ лежит между $- 568$ и $568$ .

$- 568$ и $568$