Основы алгебры Примеры

$f (x) = - 2 x^{4} + 25 x^{3} - 95 x^{2} + 90 x + 72$

Этап 1

Проверим старший коэффициент функции. Это число — коэффициент выражения с наибольшей степенью.

Наибольшая степень: $4$

Старший коэффициент: $- 2$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{- 2 x^{4}}{- 2} + \frac{25 x^{3}}{- 2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Этап 2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$f (x) = x^{4} + \frac{25 x^{3}}{- 2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Этап 2.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $90$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $90 x$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} + \frac{2 (45 x)}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Этап 2.4.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{45 x}{- 1}$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 1 \cdot (45 x) + \frac{72}{- 2}$

Этап 2.5

Перепишем $- 1 \cdot (45 x)$ в виде $- (45 x)$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - (45 x) + \frac{72}{- 2}$

Этап 2.6

Умножим $45$ на $- 1$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 45 x + \frac{72}{- 2}$

Этап 2.7

Разделим $72$ на $- 2$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 45 x - 36$

Этап 3

Составим список коэффициентов функции, исключив старший коэффициент $1$ .

$- \frac{25}{2}, \frac{95}{2}, - 45, - 36$

Этап 4

Получатся два варианта границы, $b_{1}$ и $b_{2}$ , меньший из которых является ответом. Для вычисления первого варианта границы найдем абсолютное значение наибольшего коэффициента из списка коэффициентов. Затем добавим $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{1} = | - \frac{25}{2} |, | - 36 |, | - 45 |, | \frac{95}{2} |$

Этап 4.2

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{1} = | \frac{95}{2} |$

Этап 4.3

$\frac{95}{2}$ приблизительно равно $47.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$b_{1} = \frac{95}{2} + 1$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$b_{1} = \frac{95}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$b_{1} = \frac{95 + 2}{2}$

Этап 4.6

Добавим $95$ и $2$ .

$b_{1} = \frac{97}{2}$

Этап 5

Чтобы рассчитать второй вариант границы, просуммируем абсолютные значения коэффициентов из списка коэффициентов. Если эта сумма больше $1$ , используем это число. В противном случае используем $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$- \frac{25}{2}$ приблизительно равно $- 12.5$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{25}{2}$ и вычтем абсолютное значение.

$b_{2} = \frac{25}{2} + | \frac{95}{2} | + | - 45 | + | - 36 |$

Этап 5.1.2

$\frac{95}{2}$ приблизительно равно $47.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + | - 45 | + | - 36 |$

Этап 5.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 45$ и $0$ равно $45$ .

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + 45 + | - 36 |$

Этап 5.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 36$ и $0$ равно $36$ .

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + 45 + 36$

Этап 5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$b_{2} = 45 + 36 + \frac{25 + 95}{2}$

Этап 5.2.2

Добавим $25$ и $95$ .

$b_{2} = 45 + 36 + \frac{120}{2}$

Этап 5.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Запишем $45$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$b_{2} = \frac{45}{1} + 36 + \frac{120}{2}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{45}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45}{1} \cdot \frac{2}{2} + 36 + \frac{120}{2}$

Этап 5.3.3

Умножим $\frac{45}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + 36 + \frac{120}{2}$

Этап 5.3.4

Запишем $36$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} + \frac{120}{2}$

Этап 5.3.5

Умножим $\frac{36}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{120}{2}$

Этап 5.3.6

Умножим $\frac{36}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2} + \frac{120}{2}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2 + 36 \cdot 2 + 120}{2}$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $45$ на $2$ .

$b_{2} = \frac{90 + 36 \cdot 2 + 120}{2}$

Этап 5.5.2

Умножим $36$ на $2$ .

$b_{2} = \frac{90 + 72 + 120}{2}$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $90$ и $72$ .

$b_{2} = \frac{162 + 120}{2}$

Этап 5.6.2

Добавим $162$ и $120$ .

$b_{2} = \frac{282}{2}$

Этап 5.6.3

Разделим $282$ на $2$ .

$b_{2} = 141$

Этап 5.7

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{2} = 1, 141$

Этап 5.8

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{2} = 141$

Этап 6

Возьмем в качестве границы меньшее из чисел $b_{1} = \frac{97}{2}$ и $b_{2} = 141$ .

Меньшая граница: $\frac{97}{2}$

Этап 7

Каждый вещественный корень $f (x) = - 2 x^{4} + 25 x^{3} - 95 x^{2} + 90 x + 72$ лежит между $- \frac{97}{2}$ и $\frac{97}{2}$ .

$- \frac{97}{2}$ и $\frac{97}{2}$