Основы алгебры Примеры

$f (x) = 4 x (x - 7) (x + 12)$

Этап 1

Проверим старший коэффициент функции. Это число — коэффициент выражения с наибольшей степенью.

Наибольшая степень: $3$

Старший коэффициент: $4$

Этап 2

The leading coefficient needs to be $1$ . If it is not, divide the expression by it to make it $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{4 x (x - 7) (x + 12)}{4}$

Этап 2.1.2

Разделим $(x (x - 7)) (x + 12)$ на $1$ .

$f (x) = (x (x - 7)) (x + 12)$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot - 7) (x + 12)$

Этап 2.3

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x^{2} + x \cdot - 7) (x + 12)$

Этап 2.4

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$f (x) = (x^{2} - 7 \cdot x) (x + 12)$

Этап 2.5

Развернем $(x^{2} - 7 x) (x + 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = x^{2} (x + 12) - 7 x (x + 12)$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \cdot 12 - 7 x (x + 12)$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \cdot 12 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Этап 2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \cdot 12 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Этап 2.6.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 12 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Этап 2.6.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \cdot 12 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Этап 2.6.1.2

Перенесем $12$ влево от $x^{2}$ .

$f (x) = x^{3} + 12 \cdot x^{2} - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Этап 2.6.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot 12$

Этап 2.6.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 7 x^{2} - 7 x \cdot 12$

Этап 2.6.1.4

Умножим $12$ на $- 7$ .

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 7 x^{2} - 84 x$

Этап 2.6.2

Вычтем $7 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 84 x$

Этап 3

Составим список коэффициентов функции, исключив старший коэффициент $1$ .

$5, - 84$

Этап 4

Получатся два варианта границы, $b_{1}$ и $b_{2}$ , меньший из которых является ответом. Для вычисления первого варианта границы найдем абсолютное значение наибольшего коэффициента из списка коэффициентов. Затем добавим $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{1} = | 5 |, | - 84 |$

Этап 4.2

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{1} = | - 84 |$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 84$ и $0$ равно $84$ .

$b_{1} = 84 + 1$

Этап 4.4

Добавим $84$ и $1$ .

$b_{1} = 85$

Этап 5

Чтобы рассчитать второй вариант границы, просуммируем абсолютные значения коэффициентов из списка коэффициентов. Если эта сумма больше $1$ , используем это число. В противном случае используем $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$b_{2} = 5 + | - 84 |$

Этап 5.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 84$ и $0$ равно $84$ .

$b_{2} = 5 + 84$

Этап 5.2

Добавим $5$ и $84$ .

$b_{2} = 89$

Этап 5.3

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{2} = 1, 89$

Этап 5.4

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{2} = 89$

Этап 6

Возьмем в качестве границы меньшее из чисел $b_{1} = 85$ и $b_{2} = 89$ .

Меньшая граница: $85$

Этап 7

Каждый вещественный корень $f (x) = 4 x (x - 7) (x + 12)$ лежит между $- 85$ и $85$ .

$- 85$ и $85$