Основы алгебры Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - x^{2} - 256 x + 64$

Этап 1

Проверим старший коэффициент функции. Это число — коэффициент выражения с наибольшей степенью.

Наибольшая степень: $3$

Старший коэффициент: $4$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Этап 2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$f (x) = x^{3} + \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $- 256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 256 x$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4} + \frac{64}{4}$

Этап 2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4 (1)} + \frac{64}{4}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4 \cdot 1} + \frac{64}{4}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 64 x}{1} + \frac{64}{4}$

Этап 2.3.2.4

Разделим $- 64 x$ на $1$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} - 64 x + \frac{64}{4}$

Этап 2.4

Разделим $64$ на $4$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} - 64 x + 16$

Этап 3

Составим список коэффициентов функции, исключив старший коэффициент $1$ .

$- \frac{1}{4}, - 64, 16$

Этап 4

Получатся два варианта границы, $b_{1}$ и $b_{2}$ , меньший из которых является ответом. Для вычисления первого варианта границы найдем абсолютное значение наибольшего коэффициента из списка коэффициентов. Затем добавим $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{1} = | - \frac{1}{4} |, | 16 |, | - 64 |$

Этап 4.2

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{1} = | - 64 |$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 64$ и $0$ равно $64$ .

$b_{1} = 64 + 1$

Этап 4.4

Добавим $64$ и $1$ .

$b_{1} = 65$

Этап 5

Чтобы рассчитать второй вариант границы, просуммируем абсолютные значения коэффициентов из списка коэффициентов. Если эта сумма больше $1$ , используем это число. В противном случае используем $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$- \frac{1}{4}$ приблизительно равно $- 0.25$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{1}{4}$ и вычтем абсолютное значение.

$b_{2} = \frac{1}{4} + | - 64 | + | 16 |$

Этап 5.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 64$ и $0$ равно $64$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + 64 + | 16 |$

Этап 5.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $16$ равно $16$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + 64 + 16$

Этап 5.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Запишем $64$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64}{1} + 16$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{64}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64}{1} \cdot \frac{4}{4} + 16$

Этап 5.2.3

Умножим $\frac{64}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + 16$

Этап 5.2.4

Запишем $16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1}$

Этап 5.2.5

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.6

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$b_{2} = \frac{1 + 64 \cdot 4 + 16 \cdot 4}{4}$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $64$ на $4$ .

$b_{2} = \frac{1 + 256 + 16 \cdot 4}{4}$

Этап 5.4.2

Умножим $16$ на $4$ .

$b_{2} = \frac{1 + 256 + 64}{4}$

Этап 5.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $1$ и $256$ .

$b_{2} = \frac{257 + 64}{4}$

Этап 5.5.2

Добавим $257$ и $64$ .

$b_{2} = \frac{321}{4}$

Этап 5.6

Расположим члены в порядке возрастания.

$b_{2} = 1, \frac{321}{4}$

Этап 5.7

Максимальное значение ― это наибольшее значение в упорядоченном наборе данных.

$b_{2} = \frac{321}{4}$

Этап 6

Возьмем в качестве границы меньшее из чисел $b_{1} = 65$ и $b_{2} = \frac{321}{4}$ .

Меньшая граница: $65$

Этап 7

Каждый вещественный корень $f (x) = 4 x^{3} - x^{2} - 256 x + 64$ лежит между $- 65$ и $65$ .

$- 65$ и $65$