Основы алгебры Примеры

$2 y^{6} - 5 y^{3} + 5$ , $- (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6)$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$2 y^{6} - (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6) - 5 y^{3} + 5$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{6} - (8 y^{6}) - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Этап 3.2

Умножим $15$ на $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Этап 4

Вычтем $8 y^{6}$ из $2 y^{6}$ .

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Этап 5

Перепишем $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6 y^{6}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $- 15 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 6 - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3})$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2)$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.2

Перепишем $y^{6}$ в виде ${(y^{3})}^{2}$ .

$- 3 (2 {(y^{3})}^{2} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.3

Пусть $u = y^{3}$ . Подставим $u$ вместо $y^{3}$ для всех.

$- 3 (2 u^{2} + 5 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 (u) + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.4.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$- 3 (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.4.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 3 ((2 u^{2} + u) + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 3 (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$- 3 ((2 u + 1) (u + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Заменим все вхождения $u$ на $y^{3}$ .

$- 3 ((2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Этап 5.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Этап 6

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 y^{3} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) + 5$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- 5$ из $5$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1)$

Этап 7

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1^{3})$

Этап 8

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $y$ на $1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$

Этап 9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Этап 10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Этап 10.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 10.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$- ((3 (2 y^{3}) + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 12

Умножим $2$ на $3$ .

$- ((6 y^{3} + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 13

Умножим $3$ на $1$ .

$- ((6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 14

Развернем $(6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (6 y^{3} (y^{3} + 2) + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $y^{3}$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

Перенесем $y^{3}$ .

$- (6 (y^{3} y^{3}) + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 15.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (6 y^{3 + 3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 15.1.1.3

Добавим $3$ и $3$ .

$- (6 y^{6} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 15.1.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 15.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 15.2

Добавим $12 y^{3}$ и $3 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 16

Применим свойство дистрибутивности.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y + 5 \cdot - 1) (y^{2} + y + 1))$

Этап 17

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y - 5) (y^{2} + y + 1))$

Этап 18

Развернем $(5 y - 5) (y^{2} + y + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y \cdot y^{2} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Этап 19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Перенесем $y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Этап 19.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y^{1}) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Этап 19.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{2 + 1} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Этап 19.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Этап 19.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Перенесем $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Этап 19.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Этап 19.3

Умножим $5$ на $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Этап 19.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5)$

Этап 20

Объединим противоположные члены в $5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Вычтем $5 y^{2}$ из $5 y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y + 0 - 5 y - 5)$

Этап 20.2

Добавим $5 y^{3} + 5 y$ и $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y - 5 y - 5)$

Этап 20.3

Вычтем $5 y$ из $5 y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 0 - 5)$

Этап 20.4

Добавим $5 y^{3}$ и $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} - 5)$

Этап 21

Добавим $15 y^{3}$ и $5 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 6 - 5)$

Этап 22

Вычтем $5$ из $6$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 1)$

Этап 23

Наибольший общий множитель $GCF$ является первым членом разложенного выражения.

$- 1$