Основы алгебры Примеры

$x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Этап 1

Упростим $x (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 + x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 \leq x (2 x + 6)$

Этап 1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 \leq x (2 x + 6)$

Этап 1.4.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq x (2 x + 6)$

Этап 2

Упростим $x (2 x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 x \leq x (2 x) + x \cdot 6$

Этап 2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - 2 x \leq 2 x \cdot x + x \cdot 6$

Этап 2.1.2.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 x \cdot x + 6 \cdot x$

Этап 2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 (x \cdot x) + 6 \cdot x$

Этап 2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 x^{2} + 6 \cdot x$

$x^{2} - 2 x \leq 2 x^{2} + 6 x$

Этап 3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 2 x - 2 x^{2} \leq 6 x$

Этап 3.2

Вычтем $6 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 6 x \leq 0$

Этап 3.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x^{2} - 2 x - 6 x \leq 0$

Этап 3.4

Вычтем $6 x$ из $- 2 x$ .

$- x^{2} - 8 x \leq 0$

Этап 4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} - 8 x = 0$

Этап 5

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2}$ .

$- x \cdot x - 8 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 8 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot 8 = 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x) - x (8)$ .

$- x (x + 8) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x + 8) = 0$ верно.

$x = 0, - 8$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$x > 0$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$(- 10) ((- 10) - 2) \leq (- 10) (2 (- 10) + 6)$

Этап 11.1.3

Левая часть $120$ меньше правой части $140$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(- 4) ((- 4) - 2) \leq (- 4) (2 (- 4) + 6)$

Этап 11.2.3

Левая часть $24$ больше правой части $8$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) ((2) - 2) \leq (2) (2 (2) + 6)$

Этап 11.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $20$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 8$ или $x \geq 0$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 8 or x \geq 0$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 8] \cup [0, \infty)$

Этап 14