Основы алгебры Примеры

(4, 3)

$(4, 3)$ ,

(- 1, 6)

$(- 1, 6)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot - 1 + 3 \cdot 6

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot - 1 + 3 \cdot 6$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

4

$4$ на

- 1

$- 1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3 \cdot 6

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3 \cdot 6$

Этап 2.2.1.2

Умножим

3

$3$ на

6

$6$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18$

a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18$

Этап 2.2.2

Добавим

- 4

$- 4$ и

18

$18$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 14

$a⃗ \cdot b⃗ = 14$

a⃗ \cdot b⃗ = 14

$a⃗ \cdot b⃗ = 14$

a⃗ \cdot b⃗ = 14

$a⃗ \cdot b⃗ = 14$

Этап 3

Найдем абсолютную величину

a⃗

$a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем

4

$4$ в степень

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{16 + 3^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 3^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{16 + 9}

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 9}$

Этап 3.2.3

Добавим

16

$16$ и

9

$9$ .

| a⃗ | = \sqrt{25}

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

Этап 3.2.4

Перепишем

25

$25$ в виде

5^{2}

$5^{2}$ .

| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

| a⃗ | = 5

$| a⃗ | = 5$

| a⃗ | = 5

$| a⃗ | = 5$

| a⃗ | = 5

$| a⃗ | = 5$

Этап 4

Найдем абсолютную величину

b⃗

$b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 6^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 6^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 6^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 6^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем

6

$6$ в степень

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 36}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 36}$

Этап 4.2.3

Добавим

1

$1$ и

36

$36$ .

| b⃗ | = \sqrt{37}

$| b⃗ | = \sqrt{37}$

| b⃗ | = \sqrt{37}

$| b⃗ | = \sqrt{37}$

| b⃗ | = \sqrt{37}

$| b⃗ | = \sqrt{37}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

θ = arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}})

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

\frac{14}{5 \sqrt{37}}

$\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ на

\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

θ = arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Этап 6.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим

\frac{14}{5 \sqrt{37}}

$\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ на

\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

θ = arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \sqrt{37} \sqrt{37}})

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \sqrt{37} \sqrt{37}})$

Этап 6.2.2

Перенесем

\sqrt{37}

$\sqrt{37}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{14 \sqrt{37}}{5 (\sqrt{37} \sqrt{37})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 (\sqrt{37} \sqrt{37})})$

Этап 6.2.3

Возведем

\sqrt{37}

$\sqrt{37}$ в степень

1

$1$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})})$

Этап 6.2.4

Возведем

\sqrt{37}

$\sqrt{37}$ в степень

1

$1$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})})$

Этап 6.2.5

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

θ = arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

Этап 6.2.6

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{2}})$

Этап 6.2.7

Перепишем

{\sqrt{37}}^{2}

${\sqrt{37}}^{2}$ в виде

37

$37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{37}

$\sqrt{37}$ в виде

37^{\frac{1}{2}}

$37^{\frac{1}{2}}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{14 \sqrt{37}}{5 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}} ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.2.7.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

θ = arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.2.7.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{1}})$

Этап 6.2.7.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37})$

Этап 6.3

Умножим

$5$ на

$37$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$

Этап 6.4

Найдем значение

$\arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$ .

$θ = 62.59242456$