Основы алгебры Примеры

$(4, 3)$ , $(- 1, 6)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot - 1 + 3 \cdot 6$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3 \cdot 6$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18$

Этап 2.2.2

Добавим $- 4$ и $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 14$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 3^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 9}$

Этап 3.2.3

Добавим $16$ и $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

Этап 3.2.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| a⃗ | = 5$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 6^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 6^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 36}$

Этап 4.2.3

Добавим $1$ и $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{37}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ на $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Этап 6.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ на $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \sqrt{37} \sqrt{37}})$

Этап 6.2.2

Перенесем $\sqrt{37}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 (\sqrt{37} \sqrt{37})})$

Этап 6.2.3

Возведем $\sqrt{37}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})})$

Этап 6.2.4

Возведем $\sqrt{37}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})})$

Этап 6.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

Этап 6.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{2}})$

Этап 6.2.7

Перепишем ${\sqrt{37}}^{2}$ в виде $37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{37}$ в виде $37^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{1}})$

Этап 6.2.7.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37})$

Этап 6.3

Умножим $5$ на $37$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$

Этап 6.4

Найдем значение $\arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$ .

$θ = 62.59242456$