Основы алгебры Примеры

$(- 3, - 3)$ , $(3, - 1)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 9 - 3 \cdot - 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 9 + 3$

Этап 2.2.2

Добавим $- 9$ и $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Этап 3.2.3

Добавим $9$ и $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Этап 3.2.4

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Этап 4.2.3

Добавим $9$ и $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{3 \sqrt{2} \sqrt{10}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 \sqrt{2} \sqrt{10}})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{10})})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{10})})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2} \sqrt{10}})$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $10$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{20}})$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{4 (5)}})$

Этап 6.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Этап 6.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 \sqrt{5}})$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{5}})$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{5})})$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{5}})$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5}})$

Этап 6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{5}})$

Этап 6.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Этап 6.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Этап 6.7.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Этап 6.7.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Этап 6.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Этап 6.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Этап 6.7.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Этап 6.7.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Этап 6.8

Найдем значение $\arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 116.56505117$