Основы алгебры Примеры

$(- 2, 3)$ , $(5, 3)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 3 \cdot 3$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 9$

Этап 2.2.2

Добавим $- 10$ и $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 9}$

Этап 3.2.3

Добавим $4$ и $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 3^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 3^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 9}$

Этап 4.2.3

Добавим $25$ и $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{34}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{13} \sqrt{34}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{13 \cdot 34}})$

Этап 6.1.2

Умножим $13$ на $34$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{442}})$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{442}})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{442}}$ на $\frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{442}} \cdot \frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}))$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{442}}$ на $\frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442} \sqrt{442}})$

Этап 6.4.2

Возведем $\sqrt{442}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1} \sqrt{442}})$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{442}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1} {\sqrt{442}}^{1}})$

Этап 6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{2}})$

Этап 6.4.6

Перепишем ${\sqrt{442}}^{2}$ в виде $442$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{442}$ в виде $442^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{(442^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{1}})$

Этап 6.4.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442})$

Этап 6.5

Найдем значение $\arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442})$ .

$θ = 92.72631099$