Основы алгебры Примеры

$(- 1, 1)$ , $(0, - 1)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 + 1 \cdot - 1$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 1 \cdot - 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 1$

Этап 2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Этап 3.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1}$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 1}$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

Этап 4.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| b⃗ | = 1$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1 (1)}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{- 1 \cdot 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Этап 6.1.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Этап 6.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Этап 6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Этап 6.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Этап 6.4.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6.5

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $135$ .

$θ = 135$