Основы алгебры Примеры

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{5}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

Этап 2.2.2

Добавим $\frac{1}{25}$ и $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

Этап 3.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

Этап 3.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

Этап 3.2.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

Этап 3.2.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

Этап 3.2.6

Объединим $9$ и $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

Этап 3.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

Этап 3.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Умножим $9$ на $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

Этап 3.2.8.2

Добавим $1$ и $225$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

Этап 3.2.9

Перепишем $\sqrt{\frac{226}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

Этап 3.2.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 3.2.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

Этап 4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

Этап 4.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

Этап 4.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

Этап 4.2.5

Добавим $\frac{1}{25}$ и $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

Этап 4.2.6

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Этап 4.2.7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

Этап 4.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 4.2.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Этап 6.2

Умножим $\frac{\sqrt{226}}{5}$ на $\frac{1}{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

Этап 6.3

Умножим $5$ на $5$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

Этап 6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

Этап 6.5

Умножим $\frac{25}{\sqrt{226}}$ на $1$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Этап 6.6.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

Этап 6.7

Умножим $\frac{1}{\sqrt{226}}$ на $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

Этап 6.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{226}}$ на $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

Этап 6.8.2

Возведем $\sqrt{226}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

Этап 6.8.3

Возведем $\sqrt{226}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

Этап 6.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

Этап 6.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

Этап 6.8.6

Перепишем ${\sqrt{226}}^{2}$ в виде $226$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{226}$ в виде $226^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

Этап 6.8.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

Этап 6.9

Найдем значение $\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ .

$θ = 86.18592516$