Основы алгебры Примеры

${(a - b)}^{3}$ , $a^{3} - b^{3}$ , $a^{2} - b^{2}$

Этап 1

Перегруппируем члены.

${(a - b)}^{3} + a^{3} - b^{3} + a^{2} - b^{2}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = b$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + a^{2} - b^{2}$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = b$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$

Этап 4

Вынесем множитель $a - b$ из $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $a - b$ из $(a + b) (a - b)$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$

Этап 4.2

Вынесем множитель $a - b$ из $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 5

Вынесем множитель $a - b$ из ${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $a - b$ из ${(a - b)}^{3}$ .

$(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 5.2

Вынесем множитель $a - b$ из $(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ .

$(a - b) ({(a - b)}^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 6

Перепишем ${(a - b)}^{2}$ в виде $(a - b) (a - b)$ .

$(a - b) ((a - b) (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 7

Развернем $(a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(a - b) (a (a - b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$(a - b) (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8.1.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Перенесем $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8.1.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8.1.6

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8.2

Вычтем $b a$ из $- a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перенесем $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 8.2.2

Вычтем $a b$ из $- a b$ .

$(a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 9

Добавим $a^{2}$ и $a^{2}$ .

$(a - b) (2 a^{2} - 2 a b + b^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Этап 10

Добавим $- 2 a b$ и $a b$ .

$(a - b) (2 a^{2} + b^{2} - a b + b^{2} + a + b)$

Этап 11

Добавим $b^{2}$ и $b^{2}$ .

$(a - b) (2 a^{2} + 2 b^{2} - a b + a + b)$