Основы алгебры Примеры

$2 \sqrt[3]{x - 1} = \sqrt[3]{x^{2} + 2 x}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(2 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$8 {(x - 1)}^{1} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$8 (x - 1) = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 8 \cdot - 1 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.2.1.6

Умножим $8$ на $- 1$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + 2 x}}^{3}$

Этап 2.3.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + x \cdot 2}}^{3}$

Этап 2.3.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$ в виде $x (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x (x + 2)}$ в виде ${(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$8 x - 8 = {({(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

Этап 2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

Этап 2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{1}$

Этап 2.3.1.2.5

Упростим.

$8 x - 8 = x (x + 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x - 8 = x \cdot x + x \cdot 2$

Этап 2.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x - 8 = x^{2} + x \cdot 2$

Этап 2.3.1.4.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$8 x - 8 = x^{2} + 2 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x = 8 x - 8$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - 8 x = - 8$

Этап 3.2.2

Вычтем $8 x$ из $2 x$ .

$x^{2} - 6 x = - 8$

Этап 3.3

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 4, 2$