Основы алгебры Примеры

$\frac{x - 8}{x + 5} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 8 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 8$

$x = - 5$

Этап 5

Объединим решения.

$x = 8, - 5$

Этап 6

Найдем область определения $\frac{x - 8}{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 8}{x + 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 5 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 8$

$x > 8$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 8) - 8}{(- 8) + 5} < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $5.\overline{3}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 8}{(0) + 5} < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 1.6$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(10) - 8}{(10) + 5} < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $0.1\overline{3}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < 8$

Этап 10