Основы алгебры Примеры

$f (x) = (3 x^{6} - 27 x^{4} + x^{3} - 6) \div (x + 3)$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{6} - 27 x^{4} + x^{3} - 6}{x + 3}$ не определено.

$x = - 3$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 6$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{6}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{5}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{5}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{6} + 9 x^{5}$ .

$3 x^{5}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{5}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{5}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x^{5} - 27 x^{4}$ .

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

Этап 5.11

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 3 x^{2}$ .

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

Этап 5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

Этап 5.18

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Этап 5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} - 9 x$ .

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Этап 5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Этап 5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$6$

Этап 5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$6$

Этап 5.23

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$6$

$9 x$

$27$

Этап 5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x + 27$ .

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$6$

$9 x$

$27$

Этап 5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{5}$

$9 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$3$

$3 x^{6}$

$0 x^{5}$

$27 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$6$

$3 x^{6}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$9 x^{5}$

$27 x^{4}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$6$

$9 x$

$27$

$33$

Этап 5.26

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + x^{2} - 3 x + 9 - \frac{33}{x + 3}$

Этап 5.27

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x^{5} - 9 x^{4} + x^{2} - 3 x + 9$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x^{5} - 9 x^{4} + x^{2} - 3 x + 9$

Этап 7