Основы алгебры Примеры

$12 x^{2} + x \sqrt{6} - 1 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 12$ , $b = \sqrt{6}$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4 \cdot (12 \cdot - 1)}}{2 \cdot 12}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.1.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 48$ на $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.3

Добавим $6$ и $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.4

Перепишем $54$ в виде $3^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $54$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.1.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 48$ на $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.3

Добавим $6$ и $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.4

Перепишем $54$ в виде $3^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $54$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Этап 4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}}{24}$

Этап 4.4

Добавим $- \sqrt{6}$ и $3 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{24}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt{6})}{24}$

Этап 4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Этап 4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.1.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 48$ на $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.3

Добавим $6$ и $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.4

Перепишем $54$ в виде $3^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $54$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Этап 5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} - 3 \sqrt{6}}{24}$

Этап 5.4

Вычтем $3 \sqrt{6}$ из $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 4 \sqrt{6}}{24}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $- 4$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{24}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{4 (6)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{4 \cdot 6}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- \sqrt{6}}{6}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Десятичная форма:

$x = 0.20412414 \dots, - 0.40824829 \dots$