Основы алгебры Примеры

$\frac{12 a^{3} - 3 a^{2} - 5 a + 16}{4 a + 3}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 a$

$3$

$12 a^{3}$

$3 a^{2}$

$5 a$

$16$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 a^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 a$ .

					$3 a^{2}$
	$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 a^{2}$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			+	$12 a^{3}$	+	$9 a^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 a^{3} + 9 a^{2}$ .

				$3 a^{2}$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 a^{2}$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 a^{2}$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 a^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 a$ .

				$3 a^{2}$	-	$3 a$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 a^{2}$	-	$3 a$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$
					-	$12 a^{2}$	-	$9 a$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 a^{2} - 9 a$ .

				$3 a^{2}$	-	$3 a$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$
					+	$12 a^{2}$	+	$9 a$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 a^{2}$	-	$3 a$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$
					+	$12 a^{2}$	+	$9 a$
							+	$4 a$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 a^{2}$	-	$3 a$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$
					+	$12 a^{2}$	+	$9 a$
							+	$4 a$	+	$16$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 a$ на член с максимальной степенью в делителе $4 a$ .

				$3 a^{2}$	-	$3 a$	+	$1$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$
					+	$12 a^{2}$	+	$9 a$
							+	$4 a$	+	$16$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 a^{2}$	-	$3 a$	+	$1$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$
					+	$12 a^{2}$	+	$9 a$
							+	$4 a$	+	$16$
							+	$4 a$	+	$3$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 a + 3$ .

				$3 a^{2}$	-	$3 a$	+	$1$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$
					+	$12 a^{2}$	+	$9 a$
							+	$4 a$	+	$16$
							-	$4 a$	-	$3$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 a^{2}$	-	$3 a$	+	$1$
$4 a$	+	$3$		$12 a^{3}$	-	$3 a^{2}$	-	$5 a$	+	$16$
			-	$12 a^{3}$	-	$9 a^{2}$
					-	$12 a^{2}$	-	$5 a$
					+	$12 a^{2}$	+	$9 a$
							+	$4 a$	+	$16$
							-	$4 a$	-	$3$
									+	$13$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 a^{2} - 3 a + 1 + \frac{13}{4 a + 3}$