Основы алгебры Примеры

$(- 3, - 8)$

Этап 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $- 8$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $- 3$ , $x$ в заданной точке.

$- 8 = a^{- 3}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a^{- 3} = - 8$ .

$a^{- 3} = - 8$

Этап 2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = - 8$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a^{3}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a^{3}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{1}{a^{3}} = - 8$ умножим на $a^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{a^{3}} = - 8$ на $a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = - 8 a^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $a^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = - 8 a^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = - 8 a^{3}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 8 a^{3} = 1$ .

$- 8 a^{3} = 1$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 8 a^{3} - 1 = 0$

Этап 2.5.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 a^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 a^{3}$ .

$- (8 a^{3}) - 1 = 0$

Этап 2.5.3.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- (8 a^{3}) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 2.5.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 a^{3}) - 1 (1)$ .

$- (8 a^{3} + 1) = 0$

Этап 2.5.3.2

Перепишем $8 a^{3}$ в виде ${(2 a)}^{3}$ .

$- ({(2 a)}^{3} + 1) = 0$

Этап 2.5.3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$- ({(2 a)}^{3} + 1^{3}) = 0$

Этап 2.5.3.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 2 a$ и $b = 1$ .

$- ((2 a + 1) ({(2 a)}^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.5.1.1

Применим правило умножения к $2 a$ .

$- ((2 a + 1) (2^{2} a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.5.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.5.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.5.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.5.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)) = 0$

Этап 2.5.3.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1) = 0$

Этап 2.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 a + 1 = 0$

$4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$

Этап 2.5.5

Приравняем $2 a + 1$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Приравняем $2 a + 1$ к $0$ .

$2 a + 1 = 0$

Этап 2.5.5.2

Решим $2 a + 1 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 a = - 1$

Этап 2.5.5.2.2

Разделим каждый член $2 a = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 a = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.5.2.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{1}{2}$

Этап 2.5.6

Приравняем $4 a^{2} - 2 a + 1$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Приравняем $4 a^{2} - 2 a + 1$ к $0$ .

$4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$

Этап 2.5.6.2

Решим $4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.6.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.5.6.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.5.6.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.5.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.5.6.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.5.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1) = 0$ верно.

$a = - \frac{1}{2}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.6

Избавимся от всех величин, содержащих мнимые компоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Мнимые компоненты отсутствуют. Добавим $- \frac{1}{2}$ к окончательному ответу.

$- \frac{1}{2}$ — вещественное число

Этап 2.6.2

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ к окончательному ответу.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ — не вещественное число

Этап 2.6.3

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $\frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ к окончательному ответу.

$\frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ — не вещественное число

Этап 2.6.4

Окончательный ответ ― это список значений, не содержащих мнимых компонентов.

$a = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Подставим каждое значение $a$ в функцию $f (x) = a^{x}$ , чтобы найти каждую возможную экспоненциальную функцию.

$f (x) = {(- \frac{1}{2})}^{x}$