Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{z + 3} + \frac{7}{z + 6} = \frac{3}{z^{2} + 9 z + 18}$

Этап 1

Разложим $z^{2} + 9 z + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $9$ .

$3, 6$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{z + 3} + \frac{7}{z + 6} = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$z + 3, z + 6, (z + 3) (z + 6)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $z + 3$ является само значение $z + 3$ .

$(z + 3) = z + 3$

$(z + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $z + 6$ является само значение $z + 6$ .

$(z + 6) = z + 6$

$(z + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $z + 3$ является само значение $z + 3$ .

$(z + 3) = z + 3$

$(z + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $z + 6$ является само значение $z + 6$ .

$(z + 6) = z + 6$

$(z + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $z + 3, z + 6, z + 3, z + 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(z + 3) (z + 6)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{z + 3} + \frac{7}{z + 6} = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)}$ умножим на $(z + 3) (z + 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{z + 3} + \frac{7}{z + 6} = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)}$ на $(z + 3) (z + 6)$ .

$\frac{1}{z + 3} ((z + 3) (z + 6)) + \frac{7}{z + 6} ((z + 3) (z + 6)) = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $z + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{z + 3} ((z + 3) (z + 6)) + \frac{7}{z + 6} ((z + 3) (z + 6)) = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$z + 6 + \frac{7}{z + 6} ((z + 3) (z + 6)) = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $z + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $z + 6$ из $(z + 3) (z + 6)$ .

$z + 6 + \frac{7}{z + 6} ((z + 6) (z + 3)) = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$z + 6 + \frac{7}{z + 6} ((z + 6) (z + 3)) = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$z + 6 + 7 (z + 3) = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$z + 6 + 7 z + 7 \cdot 3 = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $7$ на $3$ .

$z + 6 + 7 z + 21 = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $z$ и $7 z$ .

$8 z + 6 + 21 = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $6$ и $21$ .

$8 z + 27 = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(z + 3) (z + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$8 z + 27 = \frac{3}{(z + 3) (z + 6)} ((z + 3) (z + 6))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$8 z + 27 = 3$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$8 z = 3 - 27$

Этап 4.1.2

Вычтем $27$ из $3$ .

$8 z = - 24$

Этап 4.2

Разделим каждый член $8 z = - 24$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $8 z = - 24$ на $8$ .

$\frac{8 z}{8} = \frac{- 24}{8}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 z}{8} = \frac{- 24}{8}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{- 24}{8}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 24$ на $8$ .

$z = - 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{z + 3} + \frac{7}{z + 6} = \frac{3}{z^{2} + 9 z + 18}$ истинным.

$Нет решения$