Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{2 z} + 7 = 2 z + 13$

Этап 1

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{2 z} = 2 z + 13 - 7$

Этап 1.2

Вычтем $7$ из $13$ .

$\frac{1}{2 z} = 2 z + 6$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 z, 1, 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 z$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{2 z} = 2 z + 6$ умножим на $2 z$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 z} = 2 z + 6$ на $2 z$ .

$\frac{1}{2 z} (2 z) = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{2 z} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 z$ .

$2 \frac{1}{2 (z)} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 z} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{z} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{z} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 \cdot 2 z \cdot z + 6 (2 z)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $z$ .

$1 = 2 \cdot 2 (z \cdot z) + 6 (2 z)$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $z$ на $z$ .

$1 = 2 \cdot 2 z^{2} + 6 (2 z)$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$1 = 4 z^{2} + 6 (2 z)$

Этап 3.3.1.4

Умножим $2$ на $6$ .

$1 = 4 z^{2} + 12 z$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 z^{2} + 12 z = 1$ .

$4 z^{2} + 12 z = 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 z^{2} + 12 z - 1 = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 4$ , $b = 12$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $144$ и $16$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $160$ в виде $4^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $160$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$z = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{10}}{8}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{10}}{8}$ .

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{10}}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$z = - \frac{3 - \sqrt{10}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$z = - \frac{3 - \sqrt{10}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$

Десятичная форма:

$z = 0.08113883 \dots, - 3.08113883 \dots$