Основы алгебры Примеры

$\frac{2 m + 17}{2 m^{2} + 11 m + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ , а сумма — $b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $11$ из $11 m$ .

$\frac{2 m + 17}{2 m^{2} + 11 (m) + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Этап 1.1.2

Запишем $11$ как $4$ плюс $7$

$\frac{2 m + 17}{2 m^{2} + (4 + 7) m + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 m + 17}{2 m^{2} + 4 m + 7 m + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 m + 17}{(2 m^{2} + 4 m) + 7 m + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 m + 17}{2 m (m + 2) + 7 (m + 2)} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $m + 2$ .

$\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(m + 2) (2 m + 7), m + 2, 2 m + 7$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $m + 2$ является само значение $m + 2$ .

$(m + 2) = m + 2$

$(m + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $2 m + 7$ является само значение $2 m + 7$ .

$(2 m + 7) = 2 m + 7$

$(2 m + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $m + 2$ является само значение $m + 2$ .

$(m + 2) = m + 2$

$(m + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $2 m + 7$ является само значение $2 m + 7$ .

$(2 m + 7) = 2 m + 7$

$(2 m + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $m + 2, 2 m + 7, m + 2, 2 m + 7$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(m + 2) (2 m + 7)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$ умножим на $(m + 2) (2 m + 7)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$ на $(m + 2) (2 m + 7)$ .

$\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} ((m + 2) (2 m + 7)) + \frac{m - 2}{m + 2} ((m + 2) (2 m + 7)) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(m + 2) (2 m + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} ((m + 2) (2 m + 7)) + \frac{m - 2}{m + 2} ((m + 2) (2 m + 7)) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 m + 17 + \frac{m - 2}{m + 2} ((m + 2) (2 m + 7)) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $m + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 m + 17 + \frac{m - 2}{m + 2} ((m + 2) (2 m + 7)) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 m + 17 + (m - 2) (2 m + 7) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.3

Развернем $(m - 2) (2 m + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m + 17 + m (2 m + 7) - 2 (2 m + 7) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m + 17 + m (2 m) + m \cdot 7 - 2 (2 m + 7) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m + 17 + m (2 m) + m \cdot 7 - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 m + 17 + 2 m \cdot m + m \cdot 7 - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.4.1.2

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.2.1

Перенесем $m$ .

$2 m + 17 + 2 (m \cdot m) + m \cdot 7 - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.4.1.2.2

Умножим $m$ на $m$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + m \cdot 7 - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.4.1.3

Перенесем $7$ влево от $m$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + 7 \cdot m - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.4.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + 7 m - 4 m - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.4.1.5

Умножим $- 2$ на $7$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + 7 m - 4 m - 14 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.1.4.2

Вычтем $4 m$ из $7 m$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + 3 m - 14 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $2 m$ и $3 m$ .

$5 m + 17 + 2 m^{2} - 14 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $14$ из $17$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2 m + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2 m + 7$ из $(m + 2) (2 m + 7)$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((2 m + 7) (m + 2))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((2 m + 7) (m + 2))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = (m - 3) (m + 2)$

Этап 3.3.2

Развернем $(m - 3) (m + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m (m + 2) - 3 (m + 2)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m \cdot m + m \cdot 2 - 3 (m + 2)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m \cdot m + m \cdot 2 - 3 m - 3 \cdot 2$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m^{2} + m \cdot 2 - 3 m - 3 \cdot 2$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $m$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m^{2} + 2 \cdot m - 3 m - 3 \cdot 2$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m^{2} + 2 m - 3 m - 6$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $3 m$ из $2 m$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m^{2} - m - 6$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $m$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $m^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 m + 2 m^{2} + 3 - m^{2} = - m - 6$

Этап 4.1.2

Добавим $m$ к обеим частям уравнения.

$5 m + 2 m^{2} + 3 - m^{2} + m = - 6$

Этап 4.1.3

Добавим $5 m$ и $m$ .

$2 m^{2} + 3 - m^{2} + 6 m = - 6$

Этап 4.1.4

Вычтем $m^{2}$ из $2 m^{2}$ .

$m^{2} + 3 + 6 m = - 6$

Этап 4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$m^{2} + 3 + 6 m + 6 = 0$

Этап 4.3

Добавим $3$ и $6$ .

$m^{2} + 6 m + 9 = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$m^{2} + 6 m + 3^{2} = 0$

Этап 4.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 m = 2 \cdot m \cdot 3$

Этап 4.4.3

Перепишем многочлен.

$m^{2} + 2 \cdot m \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Этап 4.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = m$ и $b = 3$ .

${(m + 3)}^{2} = 0$

Этап 4.5

Приравняем $m + 3$ к $0$ .

$m + 3 = 0$

Этап 4.6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$m = - 3$