Основы алгебры Примеры

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \div \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + x y}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x^{2} + x y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x \cdot x + x y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x \cdot x + x (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (y)$ .

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{x}{x - y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + y}{x + y}$ .

$(\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- \frac{y}{x + y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - y}{x - y}$ .

$(\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - y) (x + y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{x}{x - y}$ на $\frac{x + y}{x + y}$ .

$(\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{y}{x + y}$ на $\frac{x - y}{x - y}$ .

$(\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{y (x - y)}{(x + y) (x - y)}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $(x - y) (x + y)$ .

$(\frac{x (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{y (x - y)}{(x + y) (x - y)}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x + y) - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x y - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + x y - y x - y (- y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Перенесем $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.5.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.6

Вычтем $y x$ из $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перенесем $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.6.2

Вычтем $x y$ из $x y$ .

$\frac{x^{2} + 0 + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 7.7

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 8.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} (x (x + y))$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $x + y$ из $x (x + y)$ .

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} ((x + y) x)$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} ((x + y) x)$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x - y} x$

Этап 8.3

Объединим $\frac{1}{x - y}$ и $x$ .

$\frac{x}{x - y}$