Основы алгебры Примеры

$\frac{4}{3 + x} + \frac{3}{2 x + 1} = 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 + x, 2 x + 1, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $3 + x$ является само значение $3 + x$ .

$(3 + x) = 3 + x$

$(3 + x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $2 x + 1$ является само значение $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $3 + x, 2 x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(3 + x) (2 x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{4}{3 + x} + \frac{3}{2 x + 1} = 1$ умножим на $(3 + x) (2 x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{4}{3 + x} + \frac{3}{2 x + 1} = 1$ на $(3 + x) (2 x + 1)$ .

$\frac{4}{3 + x} ((3 + x) (2 x + 1)) + \frac{3}{2 x + 1} ((3 + x) (2 x + 1)) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3 + x} ((3 + x) (2 x + 1)) + \frac{3}{2 x + 1} ((3 + x) (2 x + 1)) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 (2 x + 1) + \frac{3}{2 x + 1} ((3 + x) (2 x + 1)) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 x) + 4 \cdot 1 + \frac{3}{2 x + 1} ((3 + x) (2 x + 1)) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{3}{2 x + 1} ((3 + x) (2 x + 1)) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$8 x + 4 + \frac{3}{2 x + 1} ((3 + x) (2 x + 1)) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Вынесем множитель $2 x + 1$ из $(3 + x) (2 x + 1)$ .

$8 x + 4 + \frac{3}{2 x + 1} ((2 x + 1) (3 + x)) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$8 x + 4 + \frac{3}{2 x + 1} ((2 x + 1) (3 + x)) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$8 x + 4 + 3 (3 + x) = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 4 + 3 \cdot 3 + 3 x = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $3$ на $3$ .

$8 x + 4 + 9 + 3 x = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $8 x$ и $3 x$ .

$11 x + 4 + 9 = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $4$ и $9$ .

$11 x + 13 = 1 ((3 + x) (2 x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $(3 + x) (2 x + 1)$ на $1$ .

$11 x + 13 = (3 + x) (2 x + 1)$

Этап 2.3.2

Развернем $(3 + x) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$11 x + 13 = 3 (2 x + 1) + x (2 x + 1)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$11 x + 13 = 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + x (2 x + 1)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$11 x + 13 = 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$11 x + 13 = 6 x + 3 \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$11 x + 13 = 6 x + 3 + x (2 x) + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$11 x + 13 = 6 x + 3 + 2 x \cdot x + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$11 x + 13 = 6 x + 3 + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$11 x + 13 = 6 x + 3 + 2 x^{2} + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.5

Умножим $x$ на $1$ .

$11 x + 13 = 6 x + 3 + 2 x^{2} + x$

Этап 2.3.3.2

Добавим $6 x$ и $x$ .

$11 x + 13 = 7 x + 3 + 2 x^{2}$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$7 x + 3 + 2 x^{2} = 11 x + 13$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $11 x$ из обеих частей уравнения.

$7 x + 3 + 2 x^{2} - 11 x = 13$

Этап 3.2.2

Вычтем $11 x$ из $7 x$ .

$- 4 x + 3 + 2 x^{2} = 13$

Этап 3.3

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x + 3 + 2 x^{2} - 13 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $13$ из $3$ .

$- 4 x + 2 x^{2} - 10 = 0$

Этап 3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x + 2 x^{2} - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$2 (- 2 x) + 2 x^{2} - 10 = 0$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (- 2 x) + 2 (x^{2}) - 10 = 0$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$2 (- 2 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot - 5 = 0$

Этап 3.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 2 x + x^{2}) + 2 \cdot - 5 = 0$

Этап 3.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x + x^{2}) + 2 \cdot - 5$ .

$2 (- 2 x + x^{2} - 5) = 0$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$2 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$

Этап 3.6

Разделим каждый член $2 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $2 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 5)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 5)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $x^{2} - 2 x - 5$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x - 5 = \frac{0}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Этап 3.7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.8

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 3.9.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 3.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$

Десятичная форма:

$x = 3.44948974 \dots, - 1.44948974 \dots$