Основы алгебры Примеры

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{y^{2} + 9 y - 22}$

Этап 1

Разложим $y^{2} + 9 y - 22$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 22$ , а сумма — $9$ .

$- 2, 11$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 2, (y - 2) (y + 11)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y + 11$ является само значение $y + 11$ .

$(y + 11) = y + 11$

$(y + 11)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $y - 2, y - 2, y + 11$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 2) (y + 11)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ умножим на $(y - 2) (y + 11)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ на $(y - 2) (y + 11)$ .

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(y - 5) (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2.2

Развернем $(y - 5) (y + 11)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (y + 11) - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $11$ влево от $y$ .

$y^{2} + 11 \cdot y - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $- 5$ на $11$ .

$y^{2} + 11 y - 5 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $5 y$ из $11 y$ .

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(y - 2) (y + 11)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 6 y - 55 = 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 6 y - 55 - 1 = 0$

Этап 4.1.2

Вычтем $1$ из $- 55$ .

$y^{2} + 6 y - 56 = 0$

Этап 4.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = - 56$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 56)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 56$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 56$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 224}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Добавим $36$ и $224$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $260$ в виде $2^{2} \cdot 65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $260$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{65}$

Этап 4.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

Десятичная форма:

$y = 5.06225774 \dots, - 11.06225774 \dots$