Основы алгебры Примеры

$2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Этап 1

Разложим $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Этап 1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Этап 1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Этап 1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Этап 1.3.5

Умножим $5$ на $0.25$ .

$0.25 + 1.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Этап 1.3.6

Добавим $0.25$ и $1.25$ .

$1.5 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Этап 1.3.7

Умножим $3$ на $0.5$ .

$1.5 + 1.5 - 3$

Этап 1.3.8

Добавим $1.5$ и $1.5$ .

$3 - 3$

Этап 1.3.9

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3}{2 x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							+	$6 x$	-	$3$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x - 3$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 3 x + 3$

Этап 1.6

Запишем $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 3 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 3 x + 3$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.3

Вычтем $12$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$