Основы алгебры Примеры

$x^{4} - 11 x^{2} + 24 = 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 11 u + 24 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим $u^{2} - 11 u + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 11$ .

$- 8, - 3$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 8) (u - 3) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 3 = 0$

Этап 4

Приравняем $u - 8$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $u - 8$ к $0$ .

$u - 8 = 0$

Этап 4.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$u = 8$

Этап 5

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 8) (u - 3) = 0$ верно.

$u = 8, 3$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 8$

${(x^{2})}^{1} = 3$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 8$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Этап 9.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \sqrt{2}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 3$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 3$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 12

Решением $x^{4} - 11 x^{2} + 24 = 0$ является $x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$