Основы алгебры Примеры

$x^{3} = \frac{64}{27}$

Этап 1

Вычтем $\frac{64}{27}$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - \frac{64}{27} = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{64}{27}$ в виде ${(\frac{4}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{4}{3})}^{3} = 0$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = \frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + x (\frac{4}{3}) + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{x \cdot 4}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Этап 2.3.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 \cdot x}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $x$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Этап 2.3.4

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4^{2}}{3^{2}}) = 0$

Этап 2.3.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3^{2}}) = 0$

Этап 2.3.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - \frac{4}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$

Этап 4

Приравняем $x - \frac{4}{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - \frac{4}{3}$ к $0$ .

$x - \frac{4}{3} = 0$

Этап 4.2

Добавим $\frac{4}{3}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{4}{3}$

Этап 5

Приравняем $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}$ к $0$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $9$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 9 (\frac{4 x}{3}) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Этап 5.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{4 x}{3}) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Этап 5.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{4 x}{3})) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Этап 5.2.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$9 x^{2} + 3 (4 x) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$9 x^{2} + 12 x + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Этап 5.2.1.2.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{2} + 12 x + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Этап 5.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Этап 5.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.2.3

Подставим значения $a = 9$ , $b = 12$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 16)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.2.2

Умножим $- 36$ на $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.3

Вычтем $576$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.4

Перепишем $- 432$ в виде $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (432)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.7

Перепишем $432$ в виде $12^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $144$ из $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.7.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 5.2.4.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}) = 0$ верно.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$