Основы алгебры Примеры

$\frac{36}{x^{2} - 9} - 3 = \frac{2 x}{x - 3}$

Этап 1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\frac{36}{x^{2} - 9} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{36}{x^{2} - 3^{2}} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 3) (x - 3), x - 3, 1$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.5

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.6

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.7

НОК $x + 3, x - 3, x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 3) (x - 3)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$ умножим на $(x + 3) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$ на $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{2 x}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $(x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{2 x}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$36 = \frac{2 x}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x + 3) (x - 3)$ .

$36 = \frac{2 x}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$36 = \frac{2 x}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$36 = 2 x (x + 3) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$36 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.5

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Этап 4.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Этап 4.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.6

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.6.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.6.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.7.1

Умножим $x$ на $x$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.7.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x^{2} - 9)$

Этап 4.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9$

Этап 4.3.1.9

Умножим $3$ на $- 9$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 x^{2} - 27$

Этап 4.3.2

Добавим $2 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$36 = 5 x^{2} + 6 x - 27$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $5 x^{2} + 6 x - 27 = 36$ .

$5 x^{2} + 6 x - 27 = 36$

Этап 5.2

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} + 6 x - 27 - 36 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $36$ из $- 27$ .

$5 x^{2} + 6 x - 63 = 0$

Этап 5.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 63 = - 315$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$5 x^{2} + 6 (x) - 63 = 0$

Этап 5.4.1.2

Запишем $6$ как $- 15$ плюс $21$

$5 x^{2} + (- 15 + 21) x - 63 = 0$

Этап 5.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 15 x + 21 x - 63 = 0$

Этап 5.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 x^{2} - 15 x) + 21 x - 63 = 0$

Этап 5.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$5 x (x - 3) + 21 (x - 3) = 0$

Этап 5.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 3$ .

$(x - 3) (5 x + 21) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$5 x + 21 = 0$

Этап 5.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.7

Приравняем $5 x + 21$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $5 x + 21$ к $0$ .

$5 x + 21 = 0$

Этап 5.7.2

Решим $5 x + 21 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Вычтем $21$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 21$

Этап 5.7.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 21$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 21$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 21}{5}$

Этап 5.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 21}{5}$

Этап 5.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 21}{5}$

Этап 5.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{21}{5}$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (5 x + 21) = 0$ верно.

$x = 3, - \frac{21}{5}$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $\frac{36}{x^{2} - 9} - 3 = \frac{2 x}{x - 3}$ истинным.

$x = - \frac{21}{5}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{21}{5}$

Десятичная форма:

$x = - 4.2$

Форма смешанных чисел:

$x = - 4 \frac{1}{5}$