Основы алгебры Примеры

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 x + 3} = 1$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{6 x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x) + 3} = 1$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x) + 3 (1)} = 1$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (1)$ .

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x + 1)} = 1$

Этап 1.2

Добавим $\sqrt{3 (x + 1)}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{6 x + 7} = 1 + \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{6 x + 7}}^{2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x + 7}$ в виде ${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 x + 7)}^{1} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$6 x + 7 = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$ .

$6 x + 7 = (1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 7 = 1 (1 + \sqrt{3 (x + 1)}) + \sqrt{3 (x + 1)} (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 7 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 7 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$6 x + 7 = 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{3 (x + 1)}$ на $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{3 (x + 1)}$ на $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{3 (x + 1)}$ в степень $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1} \sqrt{3 (x + 1)}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{3 (x + 1)}$ в степень $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1} {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{3 (x + 1)}}^{2}$ в виде $3 (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 (x + 1)}$ в виде ${(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {({(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 (x + 1)$

Этап 3.3.1.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x + 3 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $3$ на $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x + 3$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$6 x + 7 = 4 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{3 (x + 1)}$ и $\sqrt{3 (x + 1)}$ .

$6 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x$

Этап 4

Решим относительно $2 \sqrt{3 (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7$ .

$4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{3 (x + 1)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7 - 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 6 x + 7 - 4 - 3 x$

Этап 4.2.3

Вычтем $3 x$ из $6 x$ .

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 3 x + 7 - 4$

Этап 4.2.4

Вычтем $4$ из $7$ .

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 3 x + 3$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{3 (x + 1)})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 (x + 1)}$ в виде ${(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(2 {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 {(3 x + 3 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

${(2 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.2

Применим правило умножения к $2 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(3 x + 3)}^{1} = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Упростим.

$4 (3 x + 3) = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 \cdot 3 = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x + 4 \cdot 3 = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.5.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x + 12 = {(3 x + 3)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(3 x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(3 x + 3)}^{2}$ в виде $(3 x + 3) (3 x + 3)$ .

$12 x + 12 = (3 x + 3) (3 x + 3)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(3 x + 3) (3 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x + 12 = 3 x (3 x + 3) + 3 (3 x + 3)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x + 12 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x + 3)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x + 12 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 9 x + 9$

Этап 6.3.1.3.2

Добавим $9 x$ и $9 x$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 18 x + 9$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} + 18 x + 9 = 12 x + 12$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $12 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} + 18 x + 9 - 12 x = 12$

Этап 7.2.2

Вычтем $12 x$ из $18 x$ .

$9 x^{2} + 6 x + 9 = 12$

Этап 7.3

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} + 6 x + 9 - 12 = 0$

Этап 7.4

Вычтем $12$ из $9$ .

$9 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Этап 7.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x^{2} + 6 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x^{2}$ .

$3 (3 x^{2}) + 6 x - 3 = 0$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$3 (3 x^{2}) + 3 (2 x) - 3 = 0$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (3 x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (- 1) = 0$

Этап 7.5.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$3 (3 x^{2} + 2 x) + 3 (- 1) = 0$

Этап 7.5.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 x^{2} + 2 x) + 3 (- 1)$ .

$3 (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Этап 7.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Этап 7.5.2.1.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$3 (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Этап 7.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Этап 7.5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$3 ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Этап 7.5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Этап 7.5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$3 ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Этап 7.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 7.7.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 7.7.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 7.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 7.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 7.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (3 x - 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{3}, - 1$